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基本概念与抽样分布概要
伽玛分布的性质 (1) 由此可得 (2) 如果 ,并且X和Y相互独立,容易求得 这个性质称为可加性,即伽玛分布具有可加性. 卡方分布 用构造性的方式定义是 定义1.5 设 为相互独立的随机变量,且均服从 ,则它们的平方和 也是一个随机变量,它所服从的分布称为自由度为n的 分布,记为 它的密度函数为 其密度函数与参数n有关,它的图形也有一定差异. 卡方分布的性质 若 ,则 即卡方分布是一种伽玛分布,因此具有伽玛分布的性质 (1) (2) 如果 ,并且X和Y相互独立,有 卡方分布也具有可加性 例 是来自参数为 的指数分布X总体,试证明: 总体X的密度为 当 时,我们有 密度为 说明 假定子样是简单随机子样,则 且它们之间相互独立,故有 t 分布 构造性的方式定义 定义1.6 设 , ,且X与Y相互独立,记 则T也是一个随机变量,它所服从的分布称为自由度为n的t分布,记为 它的密度函数为 与参数n有关,不同的n其图形也有差异. 性质 若 则 (1)当 时,t分布是柯西分布,柯西分布不存在数学期望和方差.参数为2的t分布也不存在数学期望和方差. (2) 时, (3)可以证明 这是标准正态分布的分布密度,即当n充分大时,T近似服从标准正态分布 F分布 构造性的方式定义 定义1.7 设 , ,且X与Y相互独立,记 则F也是一个随机变量,它所服从的分布称为自由度为(m,n)的F分布,记为 它的密度函数为 它与m,n有关,其图形也有一定差异. 容易得到 若 ,则 例 设 试证明: 证明:由t分布的构造性定义知,存在相互独立的变量X和Y,使得 于是, 仍相互独立,由F分布的定义知结论成立. 分位数: 定义1.6 设X为连续型随机变量,其密度函数为 ,对 ,如果存在数 满足 则称 为此分布的 分位数 分位数的几何意义 可用图形表示,它的值可查表得到,不同的分布有不同的分位数,有不同的表可查. 常见的分位数有 它们的值可以通过附表1、附表2、附表3、附表4 查得 分位数具有性质 (1) (2) (3)当n 足够大时(一般n 45)有近似公式 例:查表求下列分位数的值 抽样分布定理 定理1.1 设总体 , 为X的一个简单随机样本, 为样本均值与样本方差,则有: (1) (2) (3) 相互独立; (4) 定理1.2 设有两个总体X与Y, ,从两个总体X与Y中分别独立抽取容量为m,n的简单样本 ,记 为样本 的样本均值与方差, 为样本 的样本均值与方差,则 (1) 例1.8 设总体 ,分别从X中抽取容量为10与15的两个独立样本,求它们的均值之差的绝对值大于0.3的概率 例1.9 设总体 , 是从总体中抽取的简单随机样本,选取常数c,d使得 并求出n. 中南大学数学与统计学院 中南大学数学与统计学院 第1章 数理统计的基本概念与抽样分布 应用统计 数理统计的基本概念与抽样分布 例:某钢筋厂每天可以生产某型号钢筋10000根,钢筋厂每天需要对生产过程进行控制,对产品的质量进行检验。如果把钢筋的强度作为钢筋质量的重有指标,于是质量管理人员需要做如下方面的工作 第一,对生产出来的钢筋的强度进行检测,获得必要的数据。 第二,对通过抽样获取的部分数据进行整理、分析并推断出这10000根钢筋的质量是否合乎要求。 §1.2 总体、个体、样本 1.2.1 总体与个体 我们把所研究对象的全体称为
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