一阶隐式微分方程和参数表示.pptVIP

* 第四节 一阶隐含方程与参数表示 1、一阶显式微分方程可解类型： 2、对称式微分方程可解类型： 以上方法所求出的解为显式通解或者隐式通解。 一阶常微分方程的一般形式为： 到目前为止，已经讨论了 的某些形式的通解问题（见2.1~2.3）, 但是有时是难以解出 的 或者即便求出了 ,而其表达式很复杂也不便求解，此时，就需要寻求其它方法来求解微分方程。这就是本节将要讨论的参数方法求解方程。为此，讨论下面四种情况。 3、 一阶隐含方程与参数表示 4.1 可以解出x（或y）的方程 1. 讨论形如 的方程的解法，这里假设函数 有连续的偏导数。 解：作变换（引入参数）： ，有 两边求关于x的导数： 方程(4.3)是关于x,p的一阶微分方程，若它的导数已解出。则（4.1）的解有如下几种形式： 若求得（4.3）的通解的形式为： 则方程（4.1）有参数形式的通解为： 若求得（4.3）的通解的形式为： 则方程（4.1）有参数形式的通解为： 若求得（4.3）的通解的形式为： 则方程（4.1）有参数形式的通解为： 例1 求方程 的通解。 解：解出y： 两边求导，求解新的微分方程： 作变换 ： 即： 当 时，上式乘以p得到： 积分并注意到 得到: 于是求得x: 故原方程的参数形式的通解为： 当 时，y=0也是原方程的解。 例2 求方程 的通解。 作变换 ，得到： 解： 两边求导，求解新的微分方程： 或 注意：此例解中的一个特解，即奇解。 从 解得 ，代入求得原方程的解为： 从 解得 ，代入求得原方程的解为： 奇解图 奇解 2. 讨论形如 的方程的解法，与方程（4.1）的求解方法完全类似。（具体讨论过程略）。 作变换 ：有 两边对y求导，然后以 代入，得到 上述方程是关于y,p的一阶微分方程。 分析： 形如 的方程的解法 记 ，从几何地观点看， 代表xp平面上的一条曲线。设把这曲线表为适当的参数形式 这里t为参数。再注意到，沿方程（4.5）的任何一条积分曲线上，恒满足基本关系 以（4.6）代入上式得 两边积分，得到 于是得到方程（4.5）的参数形式的通解为 4.2 不显含 （或 ）的方程 * *