第2章矩阵与矩阵的Jordan标准形（详解）.docVIP

第2章 矩阵与矩阵的Jordan标准形 （详解） 2-1 解:仿教材例2.1.1-例2.1.4 2-2 证：判断下面的两个矩阵 与 是否等价.容易求出这两个矩阵的不变因子均为 相似. 评注：数字矩阵的相似问题完全可以转化为矩阵的等价问题. 2-3 证：只需判断与是否等价.对于矩阵 其不变因子为；对于矩阵 其不变因子为.显然A与B不具有相同的不变因子，从而A不相似于B. 2-4 证：用反证法.假设可以对角化，于是存在可逆矩阵使得 由于，所以 即 由此可知，故 这表明，这与矛盾. 2-5 证：只要证明的每一个Jordan标准形为 那么存在相似变换矩阵使得.因此 于是有 故必为一阶子块，即.所以与对角矩阵相似. 2-6证:设的若当标准形为 ,由有,从而都是一阶的,再利用矩阵的初等变换调整对角线上的元素,得证. 2-7解:仿教材上的例题. 2-8解:仿教材上的例题. 2-9 解：用两种方法求解此题. 方法一 相似变换矩阵的方法.对于任意一个可逆矩阵，矩阵均与矩阵相似，从而其Jordan标准形必为，于是任取两个不同的可逆矩阵，即可得到两个矩阵，. 方法二 矩阵秩的方法.设（或）的Jordan标准形为 从而（或）的Smith标准形为 由此可知（或）的行列式因子为 这样的矩阵（或）有很多，取表达式较为简单的矩阵，下列任何一种矩阵都可以 下面分析“*”处元素取何值时才能保证1为主对角元的Jordan块只有一个，以2为主对角元的Jordan块也只有一个.根据求矩阵Jordan标准形的第二种方法（矩阵秩的方法），只要使 或 即可.例如 均可以.但 都不可以. 2-10解(思路)设,其中是的若当标准形,则 2-11解: 的不变因子; 由的初等因子以及的秩为写出的若当标准形. 2-12解:仿教材例题. 2-13解: 仿教材例题. 2-14 解：因为 故 注：阶矩阵的秩为，不等价于可逆，这是与数字矩阵不相同之处.例如的秩为2，但是它不可逆. 2-15 解：的元素中有非零常数2 2-16 解：的元素有公因子，所以额可以用初等变换把左上角元素变成 然后用初等变换把公因子所在的行、列的其余元素均化为零. 2-17 解：的元素无公因子，也无常数元素.用初等变换把矩阵中某一个元素变成常数 剩下的右下角的二阶矩阵有公因子，参照2-16用的方法.有 2-18 解：的元素中有常数. 剩下的二阶矩阵使元素既无公因子又无常数的矩阵，参照2-17的方法可把二阶矩阵初等变换化 2-19 解：虽然是对角形，但不是Smith标准形. 2-20 解：首先容易求出的不变因子 于是的Smith标准形为 对于准对角形矩阵 为准对角形矩阵，则与的不变因子求得的不变因子，但是能从与的初等因子立即得到的初等因子. 2-21 解：方法一 行列式因子易得为 于是的不变因子为 因而初等因子只有一个 方法二 对用初等变换求得不变因子为 故初等因子为 2-22 解：将之第二行，第三行，，第行分别乘以都加第一行上去，得到 其中 易得 故 又 于是 所以 因此之Smith标准形为 2-23 解：因为的初等因子乘积是7次多项式，故是7阶的. 2-24 解：是5阶矩阵，答案有如下几种情况： 的初等因子 的不变因子 的初等因子 的不变因子 的初等因子 的不变因子 的初等因子 的不变因子 的初等因子 的不变因子 的初等因子 的不变因子 2-25 解：先求的初等因子.对运用初等变换可得 的初等因子是 故的标准形是 2-26 解： 故存在，满足 命 把代入式得 比较式两边得 即 在上述每个方程组中只要依次取一个解分别为，组成 即可. 易见是的特征值为1的两个线性无关的特征向量.解方程组 可求得两个线性无关的特征向量 若取，代入，该方程组无解，这时不能认为不存在.因为的特征子空间是二维的，即的线性无关特征向量不仅是.例如，只要满足的任意数，也是的线性无关特征向量.因此，若取，只要使得方程组有解.不难知道当时，取代入方程组有解为 取它的一个解，就可.于是 容易验证有 从以上两例可以概括出求标准形变换矩阵的过程. 设的标准形为，则 其中 把变换矩阵按块的阶数进行相应的分块，即设 其中，因此 故 比较上式两端得 对再按列分块 其中是个线性无关的维列向量，代入可得 由第一个方程看到，列向量是矩阵的特征为所对的特征向量.且由继而可以求得.因此，长方形矩阵以至