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2017-06-18 发布于江苏
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与旁切圆半径有关的四个几何性质

與旁切圓半徑有關的四個幾何性質丁遵標摘要: 本文將給出四個旁切圓半徑不等式的最佳形式。關鍵詞: 三角形、半周長、外接圓半徑、內切圓半徑、旁切圓半徑。本文約定: a, b, c: △ABC 的三邊長, p : 半周長, R: 外接圓半徑 , r: 內切圓半徑 , S: 面積, r , r , r : 旁切圓半徑。 a b c 匡繼昌教授編著的「常用不等式」一書出版後, 美國 “數學評論”(MR)、德國 “數學文摘” 和中國多家報刊雜誌給出很高的評價, 指出這是 “一本很有價值和受歡迎的數學不等式文獻”, 在該文獻中, 共收錄了31個旁切圓半徑不等式, 其中有下面的4 個不等式: √ 9 4. (1) 9r ≤ 3p ≤ r + r + r ≤ R a b c 2 √ 3 (2) r + r + r ≥ (3 − 3)r a b c 2 (3) r + r + r 4R a b c 17. (1) 4 ≤ 4 √2pR − 1 ≤ a2 + b2 + c2 ≤ 6√3R2 − 4 3 34 r r r r r r r pr b c c a a b a2 b2 c2 2R (2) + + ≥ r r r r r r r b c c a a b a2 b2 c2 22. + + ≤ 9R r − r r − r r − r a b c 2 2 2 a b c 3 27. 6r ≤ 2 2 + + ≤ (3R − 10r ) r + r r + r r + r r b c c a a b 筆者在學習探討之餘, 發現了匡教授編著的文獻中上面的四個不等式的最佳形式, 現提出來, 與匡教授進行商榷, 並與廣大讀者共同探討。定理 : (1) r + r + r = 4R + r a b c