复变函数课件第2章2解析函数.ppt

注解：由于负数可以开平方，所以由此不能得到 例如z=2i时，有 《复变函数与积分变换》 6、cosz和sinz在整个复平面解析，并且有： 证明： 《复变函数与积分变换》 7、cosz和sinz在复平面的零点：cosz在复平面的零点是， sinz在复平面的零点是 8、同理可以定义其他三角函数： 《复变函数与积分变换》 9、反正切函数：由函数 所定义的函数 w称为z的反正切函数，记作 由于 令 ，得到 《复变函数与积分变换》 从而 所以 反正切函数是多值解析函数，它的支点是 无穷远点不是它的支点。 《复变函数与积分变换》 3.对数函数 和实变量一样，复变量的对数函数也定义为指数函数的反函数： 《复变函数与积分变换》 注解、由于对数函数是指数函数的反函数，而指数函数是周期为2 的周期函数，所以对数函数必然是多值函数，事实上。 《复变函数与积分变换》 《复变函数与积分变换》 对数函数的主值： 相应与幅角函数的主值，我们定义对数函数Lnz的主值lnz为： 则这时，有 《复变函数与积分变换》 三种对数函数的联系与区别： 《复变函数与积分变换》 对数函数的基本性质 《复变函数与积分变换》 《复变函数与积分变换》 《复变函数与积分变换》 《复变函数与积分变换》 《复变函数与积分变换》 u v w-平面 x z-平面 y 《复变函数与积分变换》 对数函数的单值化： 相应与幅角函数的单值化，我们也可以将对数函数单值化： 考虑复平面除去负实轴（包括0）而得的区域D。显然，在D内，对数函数可以分解为无穷多个单值连续分支。 《复变函数与积分变换》 沿负实轴的割线的取值情况： 上沿 下沿 《复变函数与积分变换》 一般区域： 《复变函数与积分变换》 对数函数的单值化： 由于对数函数的每个单值连续分支都是解析的，所以我们也将它的连续分支称为解析分支。 我们也称对数函数是一个无穷多值解析函数。 我们称原点和无穷远点是对数函数的无穷阶支点（对数支点）； 《复变函数与积分变换》 特点： 1、当z绕它们连续变化一周时，Lnz连续变化到其它值； 2、不论如何沿同一方向变化，永远不会回到同一个值。 《复变函数与积分变换》 定理3.1的证明（充分性）： 《复变函数与积分变换》 复变函数的解析条件 《复变函数与积分变换》 《复变函数与积分变换》 注解: 和数学分析中的结论不同，此定理表明解析函数(可导函数)的实部和虚部不是完全独立的，它们是柯西-黎曼方程的一组解； 柯西-黎曼条件是复变函数解析的必要条件而非充分条件（见反例）； 解析函数的导数有更简洁的形式： 《复变函数与积分变换》 反例：u(x,y)、v(x,y)如下： 《复变函数与积分变换》 《复变函数与积分变换》 《复变函数与积分变换》 例1 讨论下列函数的可导性和解析性： 《复变函数与积分变换》 《复变函数与积分变换》 《复变函数与积分变换》 《复变函数与积分变换》 《复变函数与积分变换》 例2 《复变函数与积分变换》 《复变函数与积分变换》 《复变函数与积分变换》 《复变函数与积分变换》 2.3 初等函数 3、指数函数 4、多值函数导引：幅角函数 1.指数函数 (1)指数函数的定义 我们首先把指数函数的定义扩充到整个复平面。 要求复变数z=x+iy的函数f(z)满足下列条件： 《复变函数与积分变换》 由解析性，我们利用柯西-黎曼条件，有 所以， 因此， 我们也重新得到欧拉公式： 《复变函数与积分变换》 (2)指数函数的基本性质 《复变函数与积分变换》 《复变函数与积分变换》 《复变函数与积分变换》 《复变函数与积分变换》 《复变函数与积分变换》 y x z-平面 u w-平面 v 《复变函数与积分变换》 2.三角函数与双曲函数 《复变函数与积分变换》 由于Euler公式，对任何实数x，我们有： 所以有 因此，对任何复数z，定义余弦函数和正弦函 数如下： 《复变函数与积分变换》 三角函数的基本性质: 则对任何复数z，Euler公式也成立： 《复变函数与积分变换》 关于复三角函数，有下面的基本性质： 1、cosz和sinz是单值函数； 2、cosz是偶函数，sinz是奇函数: 《复变函数与积分变换》 3、cosz和sinz是以为周期的周期函数: 《复变函数与积分变换》 证明： 《复变函数与积分变换》 《复变函数与积分变换》 章 * 章 * 章 * 章 * * * * * * * * 第2章 解析函数 2.1 解析