思科数学的命题、关系及要求.docVIP

第2讲　命题及其关系、充要条件 　　 基础梳理 1．命题的概念 在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的语句叫做命题，其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题． 2．四种命题及其关系 (1)四种命题间的相互关系 (2)四种命题的真假关系 两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； 两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系． 3．充分条件、必要条件与充要条件 (1)如果pq，则p是q的充分条件，q是p的必要条件； (2)如果pq，qp，则p是q的充要条件． 用集合的观点，看充要条件 设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，则有： (1)若AB，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充分不必要条件； (2)若BA，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的必要不充分条件； (3)若A＝B，则p是q的充要条件； (4)若AB，且BA，则p是q的既不充分也不必要条件． 从逆否命题，谈等价转换 由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性，因而，当判断原命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假．这就是常说的“正难则反”． 双基自测 1．(2011·南通调研)命题“若实数a满足a≤2，则a2＜4”的否命题是________命题(填“真”“假”之一)． 解析　否命题为“若实数a满足a＞2，则a2≥4，是真命题． 答案　真 2．(2011·镇江调研)“x＞1”是“x2＞x”的________条件(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”之一)． 解析　由x2＞x，得x＜0或x＞1，因此由x2＞x推不出x＞1，但由x＞1可推出x2＞x，所以“x＞1”是“x2＞x”的充分不必要条件． 答案　充分不必要 3．(2011·扬州调研)“α＝”是“sin α＝”的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)． 解析　由α＝sin α＝sin ＝，反之，由sin α＝/α＝. 答案　充分不必要 4．(2011·盐城调研)已知a，b，c是非零实数，则“a，b，c成等比数列”是“b＝”的________条件(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”或“既不充分也不必要”之一)． 解析　当a，b，c成等比数列时，b＝±，而对于非零实数，若b＝，则a，b，c成等比数列． 答案　必要不充分 5．(2011·宿迁市联考)给出如下四个命题，其中不正确的命题的个数是________． 若“pq”为假命题，则p，q均为假命题； 命题“若x≥2且y≥3，则x＋y≥5”的否命题为“若x≥2且y≥3，则x＋y＜5”； 四个实数a，b，c，d依次成等比数列的必要不充分条件是ad＝bc； 在ABC中，“A＞45°”是“sin A＞”的充分不必要条件． 解析　“p∧q”为假命题，p，q至少有一个为假命题，不正确． 否命题为“若x＜2或y＜3，则x＋y＜5”，不正确． 当a＝b＝c＝d＝0时，ad＝bc也成立，但a，b，c，d不成等比数列．正确． 取A＝150°，则A＞45°，但sin A＝＜，不正确．因此仅有是真命题． 答案　3 　　 考向一　四种命题及其关系 【例1】设原命题是“当c＞0时，若a＞b，则ac＞bc”，写出它的逆命题、否命题与逆否命题，并分别判断它们的真假． [审题视点] 分清命题的条件与结论，再结合不等式的性质判断真假． 解　“当c＞0时”是大前提，写其他命题时应该保留，原命题的条件是a＞b，结论是ac＞bc.因此它的逆命题： 当c＞0时，若ac＞bc，则a＞b.它是真命题； 否命题：当c＞0时，若a≤b，则ac≤bc.它是真命题； 逆否命题：当c＞0时，若ac≤bc，则a≤b.它是真命题． 在判断四个命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系，要判定命题为假命题时只需举反例；对涉及数学概念的命题的判定要从概念本身入手． 【训练1】 命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的否命题是________，命题的否定是________． 解析　命题“若p则q”的否命题是“若綈p则綈q”，否定是“若p则綈q”． 答案　若一个数不是负数，则它的平方不是正数． 若一个数是负数，则它的平方不是正数． 考向二　充分、必要条件和充要条件的判断 【例2】(2011·天津改编)设集合A＝{xR|x－2＞0}，B＝{xR|x＜0}，C＝{xR|x(x－2)＞0}，则“xA∪B”是“xC”的________条件． [审题视点] 结合充分条件、必要条件的定义判断所给条件和结论的关系． 解析　化简得A＝{x|x＞2}，B＝{x|x＜0}，C＝{x|x＜0，或x＞2}．A∪B＝C，“x∈A∪B”是“xC”的充要条件． 答案　充分必要条件 判断p是