授课题目第五节矩阵的秩.docVIP

授课题目：第五节 矩阵的秩教学目的：教学重点：教学难点： 教学基本内容： 2.5 矩阵的秩 1概念 定义1? 在矩阵中任取行列位于这些行列交叉处的个元素按原次序组成的阶行列式称为的阶子式则中不为零的子式的最高阶数称为矩阵的秩，记为，并规定注1） 若则中至少有一个阶子式不等于零；而若存在阶子式，则所有的阶子式全为02）对，有 3）4） 对于阶方阵的充分必要条件是，故也称的为满秩矩阵5) 定义1?对给定矩阵，称其非零子式的最高阶数为的秩，记作，并规定.一些教科书称这样定义的秩为矩阵的行列式秩. 在第4章建立向量组秩的概念后，分别定义矩阵的行秩与列秩，届时指出矩阵秩就是其列向量组的秩或行向量组的秩6) 若发现有一阶非零子式，则必成立2 计算 直接按定义去计算矩阵的秩，需要求出矩阵最高阶的非零子式，在一般情形下这决非轻而易举的事情，但对形状特殊的行阶梯形矩阵而言，这却是极为简单的性质1 行阶梯形矩阵的秩等于其非零行的行数定理1?矩阵经行初等变换后其秩不变 推论1 矩阵经列初等变换后其秩不变推论2?设为矩阵，为阶满秩方阵, 为阶满秩方阵则. 推论3? 若有标准形分解式其中则 定理2?任意矩阵都可以仅用行初等变换化为行阶梯形矩阵3 计算矩阵A的秩的方法： 用行初等变换将化成行阶梯形矩阵, 则行阶梯形矩阵中非零行的行数就是的秩例1 把下列矩阵化为行最简形矩阵： (1)　 (2)；(3)　. 解　(1)　 (2)　 (3)　 练习1在秩是的矩阵中,有没有等于0的阶子式?有没有等于0的阶子式? 解 在秩是的矩阵中可能存在等于0的阶子式也可能存在等于0的阶子式例如，同时存在等于0的3阶子式和2阶子式练习2 从矩阵中划去一行得到矩阵问的秩的关系怎样? 解 设，且的某个阶子式矩阵是由矩阵划去一行得到的，所以在中能找到与相同的阶子式，由于，故而练习3求作一个秩是4的方阵,它的两个行向量是, 解　设为五维向量,且， 则所求方阵可为秩为4不妨设， 故满足条件的一个方阵为 练习4 求下列矩阵的秩并求一个最高阶非零子式： (1)　 (2)　解　(1)　秩为2，二阶子式． (2) 秩为2.二阶子式解非齐次线性方程组的一般方法 1）设，则中必有一个阶子式不等于零，其对应的阶方子矩阵可经行初等变换化为阶单位阵用行初等变换把增广矩阵化为包含一个阶单位阵的梯矩阵在子块的分块矩阵2）方程组的解极易求出，它就是方程组的解，因为方程组 与方程组同解例1求解下列非齐次线性方程组: (1) (2) 解　(1)　对系数的增广矩阵施行变换有，而，故方程组无解. (2)　对系数的增广矩阵施行行变换 即得亦即 练习1取何值时非齐次线性方程组，(1)有唯一解；(2)无解；(3)有无穷多个解? 解　(1)　即时方程组有唯一解(2)　 由得时方程组无解 (3)　由得时方程组有无穷多个解练习(1)　设求使(2) 设求使解 (1) . (2) ． —21 课后小结：掌握秩的求法和判断线性方程组是否有解等问题.