第六章第五课时1.pptVIP

高考总复习·理科·数学 第五课时　等比数列（2） 　 第六章　数列 (2011年长沙模拟)等比数列{an}中，已知a1＝2，a4＝16. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn. 解析：(1)设{an}的公比为q，由已知得16＝2q3，解得q＝2. ∴数列{an}的通项公式为an＝2·2n－1＝2n. (2)由(1)得a3＝8，a5＝32，则b3＝8，b5＝32， 从而bn＝－16＋12(n－1)＝12n－28，所以数列{bn}的前n项和 Sn＝ 变式探究 1．(2009年辽宁卷)等比数列{an}的前n 项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列． (1)求{an}的公比q； (2)若a1－a3＝3，求Sn. 解析：(1)依题意有a1＋(a1＋a1q)＝2(a1＋a1q＋a1q2)． 由于a1≠0，故2q2＋q＝0，又q≠0，从而q＝－ . (2)由已知可得a1－a1 2＝3, 故a1＝4， 以数列{an}的任意相邻两项为坐标的点Pn(an，an＋1)(n∈N*)均在一次函数y＝2x＋k，(k≠0)的图象上，数列{bn}满足条件：bn＝an＋1－an(n∈N*)， (1)求证：数列{bn}是等比数列； (2)设数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，若S6＝T4，S5＝－9，求k的值． 解析：(1)证明：由条件得an＋1＝2an＋k，显然bn≠0. (若bn＝0，则an＋1＝an，那么点Pn在一次函数y＝x的图象上，与条件不符) ∴所以数列{bn}是公比为2的等比数列； (2)由(1)得：bn＝b1·2n－1＝(a2－a1)·2n－1 ＝(a1＋k)·2n－1， ∴T4＝(a1＋k)·(20＋21＋22＋23)＝15(a1＋k) ， ∵an＋1－an＝bn， ∴an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1) ＝a1＋b1＋b2＋…＋bn－1 ＝a1＋(a1＋k)(20＋21＋…＋2n－2) ＝(a1＋k)·2n－1－k. ∴S6＝(a1＋k)(20＋21＋…＋25)－6k＝63a1＋57k；S5＝31a1＋26k，由S6＝T4得a1＝－ k，代入S5＝－9，得k＝8. 变式探究 2．已知a1＝2，点(an，an＋1)在函数f(x)＝x2＋2x的图象上，其中n＝1,2,3，…. (1)证明数列{lg(1＋an)}是等比数列； (2)设Tn＝(1＋a1) (1＋a2)…(1＋an)，求Tn及数列{an}的通项； (3)记bn＝ ＋ ，求数列{bn}的前n项和Sn，并证明Sn＋ ＝1. 解析：(1)由已知an＋1＝ ＋2an，∴an＋1＋1＝(an＋1)2. ∵a1＝2，∴an＋11，两边取对数得 ∴{lg(1＋ an＋1 )}是公比为2的等比数列． (2)由(1)知lg(1＋an)＝2n－1·lg(1＋a1)＝lg 32n－1， ∴1＋an＝32n－1(*)．∴Tn＝(1＋a1)(1＋a2)…(1＋an)＝320·321·322·…·32n－1＝31＋2＋22＋…＋2n－1＝32n－1. 由(*)式得an＝32n－1－1. (3)∵an＋1＝ ＋2an，∴an＋1＝an(an＋2) ， (2010年安徽卷)设C1，C2，…，Cn，…是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在x轴的正半轴上，且都与直线y＝ x相切，对每一个正整数n，圆Cn都与圆Cn＋1相互外切，以rn表示Cn的半径，已知{rn}为递增数列． (1)证明：{rn}为等比数列； (2)设r1＝1，求数列 的前n项和． 思路分析：(1)求直线倾斜角的正弦，设Cn的圆心为(λn,0)，得λn＝2rn，同理得λn＋1＝2rn＋1，结合两圆相切得圆心距与半径间的关系，得两圆半径之间的关系，即{rn}中rn＋1与rn的关系，证明{rn}为等比数列；(2)利用(1)的结论求{rn}的通项公式，代入数列 ，然后用错位相减法求和． 解析：(1)证明：将直线y＝ x的倾斜角记为θ， 则有tan θ＝ ，sin θ＝ ， 设Cn的圆心为(λn,0)，则由题意知 ＝ ，得λn＝2rn； 同理λn＋1＝2rn＋1，从而λn＋1＝λn＋rn＋rn＋1＝2rn＋1，将λn＝2rn代入，解得rn＋1＝3rn. 故 为公比q＝3的等比数列． (2)由于r1＝1，q