第一讲解三角形的必备知识和典型例题及详解.docVIP

解三角形的必备知识和典型例题及详解 一、知识必备： 1．直角三角形中各元素间的关系： 在△ABC中，C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a。 （1）三边之间的关系：a2＋b2＝c2。（勾股定理） （2）锐角之间的关系：A＋B＝90°； （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sinA＝cosB＝，cosA＝sinB＝，tanA＝。 2．斜三角形中各元素间的关系： 在△ABC中，A、B、C为其内角，a、b、c分别表示A、B、C的对边。 （1）三角形内角和：A＋B＋C＝π。 （2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 。 （R为外接圆半径） （3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 a2＝b2＋c2－2bccosA； b2＝c2＋a2－2cacosB； c2＝a2＋b2－2abcosC。 3．三角形的面积公式： （1）△＝aha＝bhb＝chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）； （2）△＝absinC＝bcsinA＝acsinB； 4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．主要类型： （1）两类正弦定理解三角形的问题： 第1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 第2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题： 第1、已知三边求三角. 第2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角. 5．三角形中的三角变换 三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点 因为在△ABCA+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=－cosC；tan(A+B)=－tanC。 ； （2）判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式. 6．求解三角形应用题的一般步骤：（1）分析：分析题意，弄清已知和所求； （2）建模：将实际问题转化为数学问题，写出已知与所求，并画出示意图； （3）求解：正确运用正、余弦定理求解； （4）检验：检验上述所求是否符合实际意义。 二、典例解析 题型1：正、余弦定理 例1．（1）在中，已知，，cm，解三角形； 解析：（1）根据三角形内角和定理， ； 根据正弦定理， ； 根据正弦定理， （2）在中，已知cm，cm，，解三角形（角度精确到，边长精确到1cm）。 根据正弦定理， 因为＜＜，所以，或 ①当时， ， ②当时， ， 点评：应用正弦定理时（1）应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形；（2）对于解三角形中的复杂运算可使用计算器 例2．（1）在ABC中，已知，，，求b及A； 解析：（1）∵ =COS == ∴ 求可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理： 解法一：∵cos ∴ 解法二：∵sin 又∵＞＜ ∴＜，即＜＜ ∴ （2）在ABC中，已知，，，解三角形 解析：由余弦定理的推论得： cos ； cos ； 点评：应用正弦定理时解法二应注意确定A的取值范围。 * 2010年高考题 （2010上海文数）18.若△的三个内角满足，则△ （A）一定是锐角三角形. （B）一定是直角三角形. （C）一定是钝角三角形. (D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形. 解析：由及正弦定理得a:b:c=5:11:13 由余弦定理得，所以角C为钝角 （2010湖南文数）7.在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若∠C=120°，c=a，则 A.a＞b B.a＜b C. a＝b D.a与b的大小关系不能确定 【命题意图】本题考查余弦定理，特殊角的三角函数值，不等式的性质，比较法,属中档题 （2010天津理数）（7）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若，，则A= （A） （B） （C） （D） 【答案】A 【解析】本题主要考查正弦定理与余弦定理的基本应用，属于中等题。 由由正弦定理得 ， 所以cosA==，所以A=300 【温馨提示】解三角形的基本思路是利用正弦、余弦定理将边化为角运算或将角化为边运算。 （2010湖北理数）3.在中，a=15,b=10,A=60°，则= A － B C － D 3．【答案】D 【解析】根据正弦定理可得解得，又因为，则，故B为锐角，所以，故D正确. （2010山东理数） （2010广东理数）11.已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所