(10-11-01) 第3章 多维随机变量和其分布.pptVIP

由此性质看到，(X,Y)的边缘分布都与?无关，说明?不同，得到的二维正态分布也不同，但其边缘分布相同。因此边缘分布是不能唯一确定联合分布的，即使X,Y都是服从正态分布的随机变量， (X,Y)不一定是服从二维正态分布。 二维正态分布的边缘分布必为一维正态分布，反之不真。 例3.12 设二维随机变量 x∈(-∞,+∞)，y∈(-∞,+∞)，求fX(x)，fY(y)。 解 因此 同理可得 但 (X,Y)不服从二维正态分布。（P60/例6） 分布函数的概念可推广到n维随机变量的情形。 事实上，对n维随机变量(X1, X2, … , Xn)， F(x1, x2, … , xn)＝P(X1? x1, X2 ?x2, … , Xn ?xn) 称为n维随机变量(X1, X2, … , Xn)的分布函数， 或随机变量X1,X2,…,Xn的联合分布函数。 3.2 随机变量的独立性 (P62) 一、两个随机变量的独立性 定义1 设F(x,y)是二维随机变量(X,Y)的分布函数，FX(x)，FY(y)分别是一维随机变量X与Y的边缘分 布函数，若对一切x,y∈R，均有 P(X≤x,Y≤y)=P(X≤x) ? P(Y≤y) 即 F(x,y)= FX(x)?FY(y) 则称随机变量X与Y相互独立。 结论：随机变量X与Y是相互独立的充要条件是事件(X≤x)与事件(Y≤y)相互独立。 定义2( P63) 若(X,Y)是二维离散型随机变量，其分布律为P(X=xi,Y=yj)= pij ，i,j=1,2,…, 则X与Y相互独立的定义为是对任意i，j， P(X=xi,Y=yj) = P(X=xi)?P(Y=yj)，即pij =pi??p?j 。 定义3( P65) 若(X,Y)是二维连续型随机变量，则X与Y相互独立的定义为 f(x,y)=fX(x)fY(y)在平面上几乎处处成立。 由上述结论可知，要判断两个离散型随机变量X与Y的独立性，只需求出它们各自的边缘分布，再看对(X,Y)的每一对可能取值点,边缘分布的乘积是否都等于联合分布即可。 例3.13 已知(X,Y)的联合分布律为 Y X 1 2 1 1/3 1/6 2 a 1/9 3 b 1/18 X 1 2 3 P 1/2 a+1/9 b+1/18 Y 1 2 P a+b+1/3 1/3 试确定常数a,b，使X与Y相互独立。 解 先求出(X,Y)关于X和Y的边缘分布律 要使X与Y相互独立，可用pij =pi??p?j来确定a,b 。 P(X=2,Y=2)= P(X=2)?P(Y=2)， P(X=3,Y=2)= P(X=3)?P(Y=2)，即 因此， (X,Y)的联合分布律和边缘分布律为 Y X 1 2 pi? 1 1/3 1/6 1/2 2 a 1/9 1/3 3 b 1/18 1/6 p?j 2/3 1/3 经检验，此时X与Y是相互独立的。 *例3.15 若二维随机变量 证明X与Y相互独立的充分必要条件为?=0（P66/例6（2）） 证 (X,Y)的联合密度函数为 边缘密度函数为 f(x,y)=fX(x)fY(y)成立的充分必要条件是?=0， 而X与Y相互独立的充分必要条件是f(x,y)=fX(x)fY(y)。 *例3.16 一负责人到达办公室的时间均匀分布于8~12时之间，他的秘书到达办公室的时间均匀分布于7~9时之间。设他俩到达时间是相互独立的，求他俩到达办公室的时间差不超过5分钟的概率。 解 设X是负责人到达办公室的时间，Y是秘书到达办公室的时间， 则X和Y的密度函数分别为 O 8 12 x y 9 7 因X与Y相互独立，所以(X,Y)的联合密度函数为 所求概率为P(|X-Y|≤1/12)，即随机点(X,Y)落在区域G中的概率， y=x+1/12 y=x-1/12 矩形区域上的均匀分布 G G的面积为1/6 例3.17 设二维随机变量(X,Y)具有概率密度函数 (1)求X,Y的边缘概率密度； (2)问X与Y是否相互独立？ O 1 x y 1 解 由于f(x,y)与fX(x)fY(y)在平面上不是几乎处处相等，因此X与Y不相互独立。 本 章 小 结 第三章 多维随机变量及其分布 二维随机变量及其分布 随机变量的独立性 3.1 二维随机变量及其分布 1、二维随机变量(p53) 设S是随机试验E的样本空间，X=X(e)，Y=Y(e)是定义在S上的随机变量，则由它们构成的一个二维向量(X,Y)称为二维随机变量或二维随机向量。 二维随机变量(X,Y)的性质不