高三数学附题集中训(空间向量).docVIP

高三数学附加题集中训练（3） 1、已知斜三棱柱的底面是直角三角形，，侧棱与底面所成角为，点在底面上的 射影落在上． （1）求证：平面； （2）若，且当时，求二面角的大小． 【解析】（1）∵点在底面上的射影落在上，∴平面， 平面，∴又∵∴， ，∴平面． （2）以为原点，为轴，为轴，过点且垂直于平面的直线为轴， 建立空间直角坐标系，则，，， ，．显然，平面的法向量． 设平面的法向量为，由，即，，∴，，∴二面角的大小是． AGEDCB2、如图，在三棱锥中，，、，设顶点在底面上的射影为． A G E D C B （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）设点在棱上，且，试求二面角的余弦值． 【解析】证明：（I）方法一：由平面得，又， 则平面，故，同理可得，则为矩形，又，则为正方形，故． 方法二：由已知可得，设为的中点，则，则平面，故平面平面，则顶点在底面上的射影必在，故． （II）方法一:由（I）的证明过程知平面，过作，垂足为，则易证得，故即为二面角的平面角，由已知可得，则，故，则，又，则，故，即二面角的余弦值为． 方法二：由（I）的证明过程知为正方形，如图建立坐标系， 则、、、、，可得， 则，易知平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为，则由得， 则，即二面角的余弦值为． 3、如图，四棱锥的底面为一直角梯形，其中，、 底面，是的中点． （1）求证：∥平面； （2）若平面， ①求异面直线与所成角的余弦值； ②求二面角的余弦值． 【解析】设，建立如图的空间坐标系，、，，、、 （1），，所以， 平面，∥平面； （2）平面，，即、，即； ①，，所以异面直线与所成角的余弦值为； ②平面和平面中，、，所以平面的一个法向量 为，平面的一个法向量为，，所以二面角的余弦值为． 4、如图，在多面体中，上、下两个底面和互相平行，且都是正方形，底面，． （Ⅰ）求异面直线与所成的角的余弦值； （Ⅱ）已知是的中点，求证：平面； （Ⅲ）在（Ⅱ）条件下，求二面角的余弦值． 【解析】解法：（Ⅰ）过，且，则为异面直线与所成的角．． （Ⅱ）∵为的中点,∴平面， 从而，∵， ∴平面． （Ⅲ）由平面，得．又由（2）平面，∴由三垂线定理得，，∴是二面角的平面角，∵，∴即二面角的余弦值为． 解法：以为坐标原点，所在直线分别为轴建立直角坐标系． （Ⅰ）∵，，∴． （Ⅱ）∵，，．∴，∴平面． （Ⅲ）由（2）知，为平面的一个法向量．设为平面的一个法向量，则， ．由，令，∴． ∴，即二面角的余弦值为． PCBMA5、如图，平面，∥，，，，异面直线与直线 所成的角为． P C B M A （Ⅰ）求二面角大小的正切值； （Ⅱ）求三棱锥的体积． 【解析】方法一：（Ⅰ）取的中点，连结，由已知， PCBNMHA，则，所以平面，过点作⊥， P C B N M H A 交的延长线于，连结，由三垂线定理知，⊥， 所以为二面角的平面角，连结，在中，由余弦定理得 . 由已知，在中，，在中，、 在中，，故二面角正切值是； （Ⅱ）因为四边形为正方形，平面，则 PCBx P C B x M y A y 方法二：（Ⅰ）在平面内，过点作的垂线，按如图所示建立空间直 角坐标系，设点，由已知可得点， ，则。因为直线与 直线所成的角为，则， 即，解得，从而， 设平面的一个法向量为，则，即，取，则 ，又为平面的一个法向量，设向量与的夹角为，则 ，从而，，显然，二面角的平面角为锐角，故二面角的正切值是； （Ⅱ）因为为平面的一个法向量，，则点到平面的距离 、又，则． 6、如图，已知、分别是正方形边、的中点，与交于点，、都垂直于平 面，且，，是线段上一动点． （Ⅰ）求证：平面平面； （Ⅱ）若平面，试求的值； （Ⅲ）当是中点时，求二面角的余弦值． 【解析】（Ⅰ）连结，∵平面，平面，∴，又∵，，∴平面，又∵，分别是、的中点，∴，∴平面，又平面，∴平面平面； （Ⅱ）建立如图所示的直角坐标系，则，，，，∴， ，设点的坐标为，平面的法向量为，则，所以，即，令，则，，故，∵平面， ∴，即，解得，故，即点为线段上靠近的四等分点， 故； （Ⅲ），则，设平面的法向量为， 则即，令，则，， 即，当是中点时，，则， ∴，∴二面角的余弦值为． 7、已知四棱锥的底面为直角梯形，，、底面，且，，是的中点． （1）证明：面面； （2）求与所成的角； （3）求面与面所成二面角的余弦值． 【解析】以为坐标原点长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为、、 、、、． （1）因、又，故，所以，由题设知，且与 是平面内的两条相交直线，由此得面，又在面上，故面⊥面； （2）因，故、、，所以； （3）平面的一个法向量设为，、，，，平面的一个法向量设为，、、、 ，，所求二面角的余弦值为． 8、如图，在正方体中，是棱的中点，在棱上， 且，若二面角的余弦