隐函数与参方程微分法.docVIP

§3 隐函数与参数方程微分法 隐函数微分法 显函数 ， 隐函数 ， 对于方程 ＝0， 若存在集合X，对任意X，存在唯一确定的，使得点对满足上述方程，则称方程＝0确定了隐函数，记为 ，X． 这时有 ＝0，X． 例l 方程可以确定隐函数 ， ， 并非任一方程都可确定隐函数，例如，方程 在实数系里就不可能确定任何隐函数． 以下我们假定：在一定条件下， 方程＝0可以确定隐函数，并且是可导的． 例2 由方程确定隐函数，求 解法1 （用复合函数求导法）在方程两边对求导，得恒等式 ． 解得 ＝ 解法2 （利用微分运算）在方程 两边求微分得 解得 ＝－ 例3 已知，求． 解 在方程两边对求导，并注意是的函数,得 －1－＝0 解得 ＝ 已知＝（，），求. 解 在方程两边取对数得 两边对求导，得 ＋＝＋， 解得 ＝ 2、参数方程微分法 在解析几何中，常用参数方程表示曲线，例如椭圆的参数方程为 一般地，设曲线的参数方程为 ． 若有反函数，则可得复合函数 . 进一步设和在连续、可导，且．由复合函数求导法和反函数求导法得 == 例5 已知椭圆参数方程为 ， 求. 例6 一轮子沿一直线滚动，轮子上一定点的轨迹曲线称为旋轮线，其参数方程为 0≤ ≤ 求出曲线上斜率为1的切线． 解 旋轮线上任一点切线的斜率为 ＝＝＝ 令＝1，解得＝，对应旋轮线上的点,故斜率为1的切线为 ＝， 化简为 ＝0.