降次——解元二次方程的教案.docVIP

22.2降次——解一元二次方程（教师用） 一、教学内容 运用直接开平方法，即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程． 二、教学目标 理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题． 提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax2+c=0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a（ex+f）2+c=0型的一元二次方程． 三、重难点关键 1．重点：运用开平方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想． 2．难点与关键：通过根据平方根的意义解形如x2=n，知识迁移到根据平方根的意义解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程． 四、教学过程 一、复习引入 学生活动：请同学们完成下列各题 问题1．填空 （1）x2-8x+______=（x-______）2；（2）9x2+12x+_____=（3x+_____）2；（3）x2+px+_____=（x+______）2． 问题2．如图，在△ABC中，∠B=90°，点P从点B开始，沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始，沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果AB=6cm，BC=12cm，P、Q都从B点同时出发，几秒后△PBQ的面积等于8cm2？  老师点评： 问题1：根据完全平方公式可得：（1）16 4；（2）4 2；（3）（）2 ． 问题2：设x秒后△PBQ的面积等于8cm2 则PB=x，BQ=2x 依题意，得：x·2x=8 x2=8 根据平方根的意义，得x=±2 即x1=2，x2=-2 可以验证，2和-2都是方程x·2x=8的两根，但是移动时间不能是负值． 所以2秒后△PBQ的面积等于8cm2． 二、探索新知 上面我们已经讲了x2=8，根据平方根的意义，直接开平方得x=±2，如果x换元为2t+1，即（2t+1）2=8，能否也用直接开平方的方法求解呢？ （学生分组讨论） 老师点评：回答是肯定的，把2t+1变为上面的x，那么2t+1=±2 即2t+1=2，2t+1=-2 方程的两根为t1=-，t2=-- 例题示范一： 变式1：解方程 变式2：解方程 变式3：解方程 变式4：解方程 总结：如果方程能转化成形如或（p≥0），那么可得或 注：（1）直接降次实际上就是直接开平方，方程的左边是一个完全平方式，右边是一个非负数时，可以运用此方法。 （2）直接开平方降次后，右边的非负数开平方时必须取正负两个平方根，解出两个一元二次方程后，得到一元二次方程的两个根。 拓展：解方程 分析：可以将（3-x）当作一个整体或一个数来处理。 【活动二】跟踪训练： 课本P31练习（1）～（6） 【活动三】由以上学习可知：如果一个一元二次方程不是直接开平方的两种形式之一，也可以设法转化为两种形式之一，再运用直接开平方法求出方程的解。 问题：要使一块长方形场地的长比宽多6m，并且面积为16，场地的长和宽各是多少？ 设场地宽为xm,长为（x+6）m，根据相等关系：长×宽=16 可得方程：x(x+6)=16 化为一般形式为：，能否将该方程也化为的形式呢？ 移项，得： 两边同时加上9，得：（这样左边就化成了一个完全平方式，右边是一个非负数） 变形为： 两边直接开平方，得：x+3=±5 x=-3±5 ∴ 可以验证x=-8不符合题意，所以场地的宽为2m，长为8m. 概括以上解题步骤： （1）移项：将常数项移到右边 （2）配方：两边同时加上一次项系数一半的平方 （3）写成直接开平方的形式（简称配方） （4）直接开平方，化成两个一元一次方程 （5）求出两个一元一次方程的解 （6）写出答案 例题示范二： 变式1：解方程： 分析：这个方程与上述方程相比，系数都是刚才的2倍，所以必须先将方程两边同除以2，将系数化简后的步骤与上同。 变式2：解方程： 分析：与上题类似，同样要按照移项、将二次项系数化为1、配方、降次为两个一元一次方程、解两个方程、写答案。 变式3： 分析：首先要将二次项、一次项移到方程的一边，常数项移到另一边，再按几个步骤进行计算。 变式4： 【活动四】跟踪训练 课本P34练习1、2. 五、课堂总结： 在教学中最关键的是让学生掌握配方，配方的对象是含有未知数的二次三项式，其理论依据是完全平方式，配方的方法是通过添项：加上一次项系数一半的平方构成完全平方式，对学生来说，要理解和掌握它，确实感到困难，，因此在教学过程中及课后批改中发现学生出现以下几个问题： 在利用添项来使等式左边配成一个完全平