求导基本公.docVIP

导数公式及证明 　　这里将列举几个基本的函数的导数以及它们的推导过程: 　　1.y=c(c为常数) y=0 　　2.y=x^n y=nx^(n-1) 　　3.y=a^x y=a^xlna 　　y=e^x y=e^x 　　4.f(x)=logaX f(x)=1/xlna (a0且a不等于1,x0) 　　y=lnx y=1/x 　　5.y=sinx y=cosx 　　6.y=cosx y=-sinx 　　7.y=tanx y=1/(cosx)^2 　　8.y=cotx y=-1/(sinx)^2 　　9.y=arcsinx y=1/√1-x^2 　　10.y=arccosx y=-1/√1-x^2 　　11.y=arctanx y=1/(1+x^2) 　　12.y=arccotx y=-1/(1+x^2) 　　在推导的过程中有这几个常见的公式需要用到： 　　1.y=f[g(x)],y=f[g(x)]?g(x)『f[g(x)]中g(x）看作整个变量，而g(x)中把x看作变量』 　　2.y=u/v,y=uv-uv/v^2 　　3.y=f(x)的反函数是x=g(y），则有y=1/x 　　证：1.显而易见，y=c是一条平行于x轴的直线，所以处处的切线都是平行于x的，故斜率为0。用导数的定义做也是一样的：y=c,⊿y=c-c=0,lim⊿x→0⊿y/⊿x=0。 　　2.这个的推导暂且不证，因为如果根据导数的定义来推导的话就不能推广到n为任意实数的一般情况。在得到 y=e^x y=e^x和y=lnx y=1/x这两个结果后能用复合函数的求导给予证明。 　　3.y=a^x, 　　⊿y=a^(x+⊿x)-a^x=a^x(a^⊿x-1) 　　⊿y/⊿x=a^x(a^⊿x-1)/⊿x 　　如果直接令⊿x→0，是不能导出导函数的，必须设一个辅助的函数β＝a^⊿x-1通过换元进行计算。由设的辅助函数可以知道：⊿x=loga(1+β)。 　　所以(a^⊿x-1)/⊿x＝β/loga(1+β)=1/loga(1+β)^1/β 　　显然，当⊿x→0时，β也是趋向于0的。而limβ→0(1+β)^1/β=e,所以limβ→01/loga(1+β)^1/β=1/logae=lna。 　　把这个结果代入lim⊿x→0⊿y/⊿x=lim⊿x→0a^x(a^⊿x-1)/⊿x后得到lim⊿x→0⊿y/⊿x=a^xlna。 　　可以知道，当a=e时有y=e^x y=e^x。 　　4.y=logax 　　⊿y=loga(x+⊿x)-logax=loga(x+⊿x)/x=loga[(1+⊿x/x)^x]/x 　　⊿y/⊿x=loga[(1+⊿x/x)^(x/⊿x)]/x 　　因为当⊿x→0时，⊿x/x趋向于0而x/⊿x趋向于∞，所以lim⊿x→0loga(1+⊿x/x)^(x/⊿x)＝logae,所以有 　　lim⊿x→0⊿y/⊿x＝logae/x。 　　可以知道，当a=e时有y=lnx y=1/x。 　　这时可以进行y=x^n y=nx^(n-1)的推导了。因为y=x^n,所以y=e^ln(x^n)=e^nlnx, 　　所以y=e^nlnx?(nlnx)=x^n?n/x=nx^(n-1)。 　　5.y=sinx 　　⊿y=sin(x+⊿x)-sinx=2cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2) 　　⊿y/⊿x=2cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)/⊿x=cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)/(⊿x/2) 　　所以lim⊿x→0⊿y/⊿x=lim⊿x→0cos(x+⊿x/2)?lim⊿x→0sin(⊿x/2)/(⊿x/2)=cosx 　　6.类似地，可以导出y=cosx y=-sinx。 　　7.y=tanx=sinx/cosx 　　y=[(sinx)cosx-sinx(cosx)]/cos^2x=(cos^2x+sin^2x)/cos^2x=1/cos^2x 　　8.y=cotx=cosx/sinx 　　y=[(cosx)sinx-cosx(sinx)]/sin^2x=-1/sin^2x 　　9.y=arcsinx 　　x=siny 　　x=cosy 　　y=1/x=1/cosy=1/√1-sin^2y=1/√1-x^2 　　10.y=arccosx 　　x=cosy 　　x=-siny 　　y=1/x=-1/siny=-1/√1-cos^2y=-1/√1-x^2 　　11.y=arctanx 　　x=tany 　　x=1/cos^2y 　　y=1/x=cos^2y=1/sec^2y=1/1+tan^2x=1/1+x^2 　　12.y=arccotx