欧拉公式推.docVIP

欧拉公式推导： 图4.3所示的两端铰支杆件，受轴向压力作用而处于中性平衡微弯状态，杆件弯曲后截面中产生了弯矩和剪力，在轴线任意点上由弯矩产生的横向变形为，由剪力产生的横向变形为，总变形。 图４.３ 两端铰支的轴心压杆临界状态设杆件发生弯曲屈曲时截面的临界应力小于材料比例极限，即（对理想材料取）。由材料力学可得： 图４.３ 两端铰支的轴心压杆临界状态 由剪力产生的轴线转角为： 式中 、——杆件截面面积、惯性矩； 、——材料的弹性模量、剪切模量； —— 与截面形状有关的系数。 因为 所以 由 得： 令 得常系数线性二阶齐次方程 其通解为： 由边界条件： ，。再由得： 上式成立的条件是或，其中表示杆件不出现任何变形，与杆件微弯的假设不符。由，得（1，2，3…），取最小值1，得，即 由此式解出，即为中性平衡的临界力 （4.6） 临界状态时杆件截面的平均应力称为临界应力 （4.7） 式中 ——单位剪力时杆件的轴线转角，； ——两端铰支杆得长度； ——杆件的长细比，； ——杆件截面对应于屈曲轴的回转半径，。 如果忽略杆件剪切变形的影响（此影响很小）则式（4.6）、（4.7）变为： （4.8） （4.9） （4.8）、(4.9)式也称为欧拉公式