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椭圆的简单几何性质 第一课时 　　（一）教学目标 　　掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率这四个几何性质，掌握标准方程中 、 以及 、 的几何意义， 、 、 、 之间的相互关系，明确怎样用代数的方法研究曲线的几何性质． 　　（二）教学过程 　　【复习引入】 　　由学生口述，教师板书： 　　问题1．椭圆的标准方程是怎样的？ 　　问题2．在直角坐标系内，关于 轴、 轴、原点对称的点的坐标之间有什么关系？ 　　【探索研究】 　　1．椭圆的几何性质 　　根据曲线的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形，是解析几何的基本问题之一．根据曲线的条件列出方程．如果说是解析几何的手段，那么根据曲线的方程研究曲线的性质、画图、就可以说是解析几何的目的． 　　下面我们根据椭圆的标准方程 来研究椭圆的几何性质． 　　（1）范围 　　引导学生从标准方程 ，得出不等式 ， ，即 ， ．这说明椭圆的直线 和直线 所围成的矩形里（如图），注意结合图形讲解，并指出描点画图时，就不能取范围以外的点． 　　（2）对称性 　　先让学生阅读教材中椭圆的几何性质2． 　　设问：为什么“把 换成 ，或把 换 ，或把 、 同时换成 、 时，方程解不变．则图形关于 轴、 轴或原点对称”呢？ 　　事实上，在曲线方程里，如果把 换成 ，而方程不变，那么当点 在曲线上时，点 关于 轴的对称点 也在曲线上，所以曲线关于 轴对称．类似地可以证明其他两个命题． 　　同时应向学生指出：如果曲线具有关于 轴对称，关于 轴对称和关于原点对称中的任意两种，那么它一定具有另一种对称． 　　最后强调： 轴、 轴是椭圆的对称轴．原点是椭圆的对称中心即椭圆中心．进而说明椭圆的中心是焦点连线的中点，对称轴是焦点的连线及其中垂线与坐标系无关．因而是曲线的固有性质． 　　（3）顶点 　　引导学生从椭圆的标准方程 分析它与 轴、 轴的交点，只须令 得 ，点 、 是椭圆与 轴的两个交点；令 得 ，点 、 是椭圆与 轴的两个交点．应该强调：椭圆有四个顶点 、 、 、 ． 　　同时还需指出： 　　（1°）线段 和 分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于 和 ； 　　（2°） 、 的几何意义： 是椭圆长半轴的长， 是椭圆短半轴的长． 　　（3°）椭圆的顶点即是椭圆与对称轴的交点，一般二次曲线的顶点即是曲线与其对称轴的交点． 　　这时教师可作如下小结：由椭圆的范围，对称性和顶点，再进行描点画图，只须描出较少的点，就可以得到较正确的图形． 　　（4）离心率 　　由于离心率的概念比较抽象，教师可直接给出离心率的定义： 　　椭圆的焦距与长轴长的比 ，叫做椭圆的离心率． 　　先分析离心率 的取值范围： 　　∵ ， ∴ ． 　　再结合图表分析离心率的大小对椭圆形状的影响： 　　（1）当 趋近于1时， 趋近于 ，从而 越小，因此椭圆越扁平： 　　（2）当 趋近于0时， 趋近于0，从而 趋近于 ，因此椭圆越接近于圆． 　　【例题分析】 　　例1 求椭圆 的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出它的图形． 　　分析：只要化为椭圆的标准方程即可求解． 　　解：把已知方程化成标准方程是 　　 　　这里 ， ，∴ ． 　　因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是 和 ，离心率 ，两个焦点分别是 和 ，椭圆的四个顶点是 、 、 、 ． 　　（前一部分请一位学生板演，教师予以纠正，后一部分教师讲解，以引起学生重视．）步骤如下： 　　①列表：将已知方程变形为 ， 　　根据 ， 　　在 的范围内算出几个点的坐标 ． 0 1 2 3 4 5 4 3.9 3.7 3.2 2.4 0 　　②描点作图：先描点画出椭圆在第一象限内的图形，再利用椭圆的对称性就可以画出整个椭圆（如图）． 　　例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程 　　（1）经过点 ， ； 　　（2）长轴长等于20，离心率等于 ． 　　解：由椭圆的几何性质可知， 、 分别是椭圆长轴和短轴的一个端点，于是得 ， ．又因为长轴在 轴上，所以所求椭圆的标准方程为 ． 　　（2）由已知得 ， ∴ ， ∴ ． 　　由于椭圆的焦点可能在 轴上，也可能在 轴上，所以所求椭圆的标准方程为 或 ． 　　（三）随堂练习 　　1．在下列方程所示的曲线中，关于 轴、 轴都对称的是（ ） 　　A．　B．　C．　D． 　　2．求下列各椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点坐标、顶点坐标，并画出草图①　② ． 　　3．下列每组椭圆中，哪一个更接近于圆 　　① 与 ； 　　② 与 ． 　　答案：1．D 2．① ， ， ， ， ， ， ， ， ．② ， ， ， ， ， ， ， ， ，图略． 　　3．① ② ． 　　（四）总结提炼 方程   图形 范围 ， ， 对称性 关于 轴、 轴、坐标原点对称 关