第十章 高阶弹性常数.docVIP

高阶弹性常数 ? 导论(Introduction) ? 1 广义Hooker定理以及晶体的Neumann原理 ? 2 应变自由能与弹性常数的关系 ? 3高阶弹性常数的获得与计算 ? 4参考文献 [显示部分][显示全部] 导论(Introduction) 众所周知的是二阶弹性常数是一个二阶四秩张量（Cijkl），三阶弹性常数是三阶六秩张量（Cijklmn）；更高阶的弹性常数还包括四阶弹性常数（Cijklmnpq），五阶弹性常数（Cijklmnpqrs）和六阶弹性常数（Cijklmnpqrsuv），分别是八秩，十秩和12秩张量。目前研究报道的最高弹性常数为6阶弹性常数。二阶弹性常数的计算由于张量分量较少，同时在计算过程中主要是采用了线性Hooker定理，所施加的应变量很小，因此在材料力学性能表征中得到了广泛的应用，三阶弹性常数描述了非线性Hooker定理或者非线性力作用下的材料的力学响应问题。三阶弹性常数矩阵形式十分复杂，即使对于立方晶体结构也有6个独立分量，对于对称性更低的晶体结构则分量更多，如果采用能量－应变的方法来计算各个独立分量，则计算量相当可观。如立方晶体（点群Oh，O，Td）有六个独立分量，则需要六个不同的应变模式，得到六个多元一次方程组，联立求解得到各个分量数值。若采用应力－应变（Strain－Stress relations）则可以明显减少应变模式的数量，但主要问题在于这要求第一原理计算软件具有计算晶体Cauchy应力张量的能力，然而，目前广泛采用的DFT计算软件，如VASP，Wine2K等等是不能直接得到Cauchy应力张量的，只能计算特定应变下的应变能数值。Materials Studio软件中的CASTEP模块是目前为数不多的具有直接计算应变结构Cauchy应力张量的软件，因此CASTEP模块在计算材料的二阶弹性常数方面十分的方便。此外，对于三阶弹性常数，目前没有软件可以直接计算，需要研究者自行设计方法进行计算。三阶弹性常数可以描述材料在高压下的力学响应情况，鉴于目前高压物理学，行星结构科学等相关领域的飞速发展，对于超硬材料的非线性力学常数受到了越来越多的关注。采用超声腔共振法可以方便的测量材料的二阶弹性常数，但对于非线性弹性常数，试验方面进展十分的缓慢，时至今日，大部分超硬材料的高阶弹性常数仍然是未知的。 1 广义Hooker定理以及晶体的Neumann原理 ?(The generalized Hookers Law and Neumann Principle) 1.1 广义Hooker定理 ?(The Generalized Hookers Law) 与传统线弹性力学中广泛采用的Hooker定理相比，广义Hooker定理可以认为是包含了高阶非线性应力和应变关系项的Hooker定理的Taylor级数展开形式，因此从数学意义上来讲这种应力对应变的阶数可以无限制的进行，正如前文所说，目前广泛采用的弹性常数为应力对应变展开的线性项，展开系数即为Cijkl，Cijkl就是弹性常数，由于根据张量运算法则可知Cijkl是一个四秩张量，描述两个二秩张量应力（stress）和应变（Strain）之间的关系。Cijkl矩阵元素有3^4个，考虑到Lagrange应变为对称矩阵，同时应变自由能与应变路径无关，可以用一个6×6的矩阵来描述，有36个矩阵元素。进一步的矩阵元素化简来自于晶体结构点群对称性对物理学性质的限制，即Neumann原理。例如对于三斜晶体（Triclinic Crystal Class），独立矩阵元素为21个，如果是正交晶体（Orthorhombic Crystal Class）则减少到9个，对称性最高的立方晶系（Cubic Crystal Class），仅为三个（C11， C12和C44）。 研修班,北京大学研修班,清华总载班 Cijkl Generalized Hooker s Law 简单归纳一下Cijklmnpq....的性质： Cijkl: Second order 4th rank tesnor, 6×6 matrix with 36 matrix elements and reduces to 21 independent elements for Triclinic crystal class (The matrix form see Fig); Second order 4th rank tensor: Cijkl Cijklmn: Third order 6th rank tensor, 21×6 matrix with 126 elements and for triclinic crystal class the independent numer is 56;