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二次根式的知识点汇总 知识点一： 二次根式的概念 形如（）的式子叫做二次根式。 注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。 例1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、、、（x0）、、、-、、（x≥0，y≥0）． 分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0． 知识点二：取值范围 1、?? 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。 2、? 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意义。 例2．当x是多少时，在实数范围内有意义？ 例3．当x是多少时，+在实数范围内有意义？ 知识点三：二次根式（）的非负性 （）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。 注：因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。 例4(1)已知y=++5，求的值．(2)若+=0，求a2004+b2004的值 知识点四：二次根式（）的性质 （） 文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。 注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，. 例1 计算 1．（）2 2．（3）2 3．（）2 4．（）2 例2在实数范围内分解下列因式: （1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3 知识点五：二次根式的性质 文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。 注： 1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本身， 即；若a是负数，则等于a的相反数-a,即； 2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义； 3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。 例1 化简 （1） （2） （3） （4） 例2 填空：当a≥0时，=_____；当a0时，=_______，并根据这一性质回答下列问题． （1）若=a，则a可以是什么数？（2）若=-a，a，则a是什么数？ 例3当x2，化简-． 知识点六：与的异同点 1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数。但与都是非负数，即，。因而它的运算的结果是有差别的，?，而 2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而. 知识点七：二次根式的乘除 1、 乘法·＝（a≥0，b≥0） 反过来：=·（a≥0，b≥0） 2、除法=（a≥0，b0） 反过来，=（a≥0，b0） （思考：b的取值与a相同吗？为什么？不相同，因为b在分母，所以不能为0） 例1．计算 （1）4× （2）× （3）× （4）× 例2 化简 （1） （2） （3） （4） 例3．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正： （1） （2）×=4××=4×=4=8 例4．计算：（1） （2） （3） （4） 例5．化简： （1） （2） （3） （4） 例6．已知，且x为偶数，求（1+x）的值． 3、最简二次根式应满足的条件： （1）被开方数不含分母或分母中不含二次根式； （2）被开方数中不含开得尽方的因数或因式 （熟记20以内数的平方；因数或因式间是乘积的关系，当被开方数是整式时要先判断是否能够分解因式，然后再观察各个因式的指数是否是2（或2的倍数），若是则说明含有能开方的因式，则不满足条件，就不是最简二次根式） 例1．把下列二次根式化为最简二次根式(1) ; (2) ; (3) 4、化简最简二次根式的方法： (1) 把被开方数(或)化成积的形式，即分解因式(2) 化去根号内的分母，即分母有理化(3) 将根号内能开得尽方的因数(式)开出来． ①与；????????????? ②与； ③与；?????? ④与． ??? 说明：利用有理化因式的特点可以将分母有理化． 13、同类二次根式：被开方数相同的（最简）二次根式叫同类二次根式。