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第一章数学思想方法指导 --------极限与连续思想方法选讲 §1.9. 1 关于集合概念的说明 集合论是现代数学的基石.它是德国著名数学家G. Cantor（康托）在十九世纪末开创的;20世纪初由许多数学家共同努力，在克服其自身存在的若干逻辑上的缺陷的基础上形成了公理化体系，发展成现代数学的一个重要分支，并且成为现代数学和许多相关的科学领域（包括自然科学和部分社会科学）的基础或基础的一部分. 在公理化体系中，集合，或简称集，是数学的一个原始概念，正如平面几何中的点、线、平面等概念一样，它不能用别的、更基本的概念来定义它. 于是采用了一套公理来规定集合的运算法则.其中的“划分公理”指出，当基本集合确定时，这基本集合的任何一部分是一个集合. 根据这一点，本书§1.1.1叙述道：“在研究范围明确的条件下，集合通常理解为具有某种性质的事物的全体”，其中所谓“研究范围明确”指的就是“基本集合确定”.在一元微积分中我们考虑的函数的定义域和值域都是实数集的子集,即认定基本集为实数集(实数全体构成的集);在多元微积分, 值域仍是实数集,而定义域是n维欧氏空间的子集合(基本集为n维欧氏空间). §1.9. 2 函数的一般定义与函数思想 在§1.1.2函数的定义中，所谓“对应法则”本身是含糊不清的. 按现代观点，函数可以用集合来定义；即把“对应法则”用一个集合明确表示出来. 为此，对集合X和Y，先根据集合的公理来定义乘积集合X?Y={(x, y)| x?X, y?Y}（当X和Y都是实数集R时，X?Y就是平面）;然后把X?Y的任何子集F称为从X到Y的一个关系. 进一步，若关系F满足：对任意x?X，存在唯一的y?Y使得(x, y) ?F，就称F是定义在X上取值于Y的一个映射. 特别，当X和Y都是实数集的某个子集合时，则把定义在X上取值于Y的映射F称为（实）函数. 直观地，（实）函数F就是平面上的一个图形使得对于对每一个x?X，过x平行于Y轴的直线与该图形有且只有一个交点. 显然，F就是通常说的函数图像，而现在把它称为函数. 但为了和历史的惯例一致，通常仍然把函数F表成y = f (x), x?X. 函数由它的图像所决定，图像决定了对应关系，因此，函数与表示它时所采用的字母无关，即把x, y换成别的字母也可以. 通常把f (x)中x所代表的量称为自变量. 按照这样的定义,实数列{an}也是函数，可写出y = f (n), n?N，这时候，n是自变量. 通常把可在一个区间任意取值的变量称为连续变量，把只在自然数集N或它的子集合上取值的变量称为离散变量. 因此，数列的自变量是离散变量. 不过，本书采用习惯说法，如果未另做说明,只把定义在一个或多个区间上的函数称为函数，不把数列{an}称为函数. 由上面讨论知，数列与函数的区别仅在于其定义域，而函数的自变量是连续变量. 目前出版的许多教材和参考书，在介绍数学思想方法时，把利用函数的性质来解决问题的思想方法称为函数思想或函数方法. §1.9. 3 极限与极限思想 极限思想是近代数学的一种重要思想，指的是用极限概念和性质来分析与处理数学问题的思想方法. 极限概念起源于微积分，与此同时，微积分理论（数学分析）就是以极限概念为基础,极限理论为工具来研究函数(包括级数)的一门学科分支.具体说, 微积分理论的一系列重要概念,如函数的连续性、导数、积分、级数求和等都是通过极限来定义的. 微积分理论是牛顿（I. Newton）和 莱布尼兹（N. Leibniz）于18世纪分别创立的. 初期,他们以无穷小(量)的概念为基础来建立微积分,不久后遇到逻辑上的困难,所以后来他们都接受了极限思想，即以极限概念作为考虑问题的出发点. 但是，当时他们只采用直观的语言来描述极限. 例如，他们是这样描述数列{an}的极限的：“如果当n无限大时，an无限地接近常数A，就称an以A为极限”. 这样的定义没定量地说明“什么是n无限大”，“什么是an无限地接近常数A”，因此不能作为科学论证的逻辑基础. 直到19世纪70年代，经过许多数学家长期努力，才形成现在的 ?-N和???定义?-N方法定义为：如果对任何???，都存在自然数?，使得当nN an ? A |?成立，则称{an}n趋于无限大时以A为极限，记作= A. 这个定义，借助于不等式，通过?-N之间的关系，定量地、具体地刻画了两个“无限过程”之间的联系. 因此，这个定义是严格的，可以作为科学论证的基础. 所以，现行的教材都采用这样的定义. 初学者可能对这样的定义感到不太习惯，但只要经过多次应用，就能在实践中加深对它的认识. §1.9. 4 关于连续的概念的两点说明 1. 极限与函数符号的交换 据连续的定义（§1.6.1定义1）, 设函数y = f (