第六篇 线性方程组的迭代法.pptVIP

Thank you very much! 作业 P209 1,7,9 This is a placeholder for the demo. It reminds you when to switch over to the demo and it tells the audience why you are going to show them what you are showing both before the demo and when you switch back to the slides. ⑵ 将系数矩阵分解 则高斯-塞德尔迭代矩阵 故高斯—塞德尔迭代收敛。 定理8 设n阶方阵 为严格对角占优阵, 则 非奇异 证: 因A为对角占优阵, 其主对角元素的绝对值大 于同行其它元素绝对值之和, 且主对角元素 全不为0, 故对角阵 为非奇异。 作矩阵 利用对角占优知 由定理知 非奇异,从而A非奇异,证毕 系数矩阵为严格对角占优阵的线性方程组称作对角 占优方程组。 结论:严格对角占优线性方程组 的雅可比 迭代公式和高斯-赛德尔迭代公式均收敛。 定理9 若矩阵A按行(或列)严格对角占优,或按行(或列)弱对角占优不可约；则Jacobi迭代、Gauss-Seidel迭代都收敛。 证明 若矩阵A按行严格对角占优，或按行(或列)弱对角占优不可约，则GS迭代收敛。假若不然，ρ(BG)≥1，即迭代矩阵BG的某一特征值λ使得|λ|≥1，并且 类似地，若矩阵A按行严格对角占优，或按行(或列)弱对角占优不可约，则Jacobi迭代收敛。假若不然，ρ(BJ)≥1，即迭代矩阵BJ的某一特征值λ使得|λ|≥1，并且 定理12 对于线性方程组Ax=b，若A为对称正定矩阵，则当0ω2时，SOR迭代收敛. 证明 只需证明λ1（其中λ为Lω的任一特征值）. 定理13 对于线性代数方程组Ax=b， 若A按行(或列)严格对角占优，或按行(或列)弱对角占优不可约；则当0w≤1时，SOR迭代收敛。 例6 设 ,证明, 求解方程组 的Jacobi迭代与G-S迭代同时收敛或发散 证:雅可比迭代矩阵 其谱半径 例6设 ,证明, 求解方程组 的Jacobi迭代与G-S迭代同时收敛或发散 证: G-S迭代矩阵 其谱半径 显然, 和 同时小于、等于或大于1,因而Jacobi迭代法与G-S迭代法具有相同的收敛性 例7 设求解线性方程组的雅可比迭代 x(k+1)=B x(k)+f k=0,1,… 求证当‖B‖ 1时, 相应的G-S迭代收敛 证 这里以‖B‖? 为例, ‖B‖1类似 由于B是雅可比迭代的迭代矩阵，故有 ∴ Ax=b 的系数矩阵按行严格对角占优, 故高斯-塞德尔迭代收敛 例 8 考察用雅可比迭代法和高斯-塞德尔迭代 法解线性方程组Ax=b的收敛性，其中 解： 先计算迭代矩阵 求特征值 雅可比矩阵 ? ( B ) = 0 1 ∴用雅可比迭代法求解时，迭代过程收敛 ?1=0,?2 =2,?3 =2 ?(G1)=21 ∴用高斯-塞德尔迭代法求解时，迭代过程发散 高斯-塞德尔迭代矩阵 求特征值 ∴ Ax=b的系数矩阵按行严格对角占优,故高斯-塞德尔迭代收敛 例9 设有迭代格式 X(k+1)=B X(k) +g (k=0,1,2……） 其中B=I-A, 如果A和B的特征值全为正数， 试证：该迭代格式收敛。 分析:根据A， B和单位矩阵I之间的特征值的关系导出?(?)1, 从而说明迭代格式收敛。 证: 因为B=I-A, 故?(B)= ?(I)- ?(A)=1 - ?(A) ?(A) + ?(B) = 1 由于已知?(A) 和 ?(B)全为正数，故 0?(B)1 ,从而? (B) 1 所以该迭代格式收敛。 当时?a?1时,Jacobi矩阵??GJ??∞1,对初值x(0)均收敛 例10 设 方程组 写出解方程组的Jacobi迭代公式和迭代矩阵 并讨论迭代收敛的条件。 写出解方程组的Gauss-Seidel迭代矩阵,并讨 论迭代收敛的条件。 解 ① Jacobi迭代公式和Jacobi矩阵分别为 例 10设 方程组