量子力学的矩阵形式和表象变换.docVIP

量子力学的矩阵形式及表象变换(曾谨言4.5) 一个量子态可以在不同表象中表示出来的概念.作为对量子态进行运算的算符当然也因之有不同表象的问题.在许多量子力学教科书中把它讲的过分抽象.以下用大家熟悉的解析几何中的坐标及坐标变换作为类比,以引进量子力学中的表象及表象变换的概念. 4.5.1 量子态的不同表象,么正变换 如图4.2平面(二维)上的直角坐标系的基矢为和,长度为1 (1) 表示基矢和的标积.这一组基矢是完备的,因为平面上任何一个矢量,均可用它们来展开: (2) 其中 (3) 分别代表矢量与两个基矢的标积,即在两个坐标轴上的投影(分量).当确定之后,就完全确定了平面上一个矢量.因此,可以认为是矢量在坐标系中的表示. 现在假设另取一个直角坐标系,相当于原来坐标系顺时针转过角,其基矢分别用表示.而 (1’) 同一个矢量,在此新坐标系中表示为 (2’) 其中 (3’) 是矢量在坐标系中的表示. 现在要问:同一个矢量在不同坐标系中的表示,有什么关系? 显然,根据式(2)及(2’), (4) 上式分别用点乘(取标积),得 若表示成矩阵形式,则为 (5) 或记为 其中 (6) 这就表明,同一矢量,在不同的坐标系中用不同的列矢和来表示,而它们之间通过一个变换矩阵来联系.显然 (7) (是的转置矩阵) (8) 这种矩阵称为真正交矩阵.又因为 (实矩阵) (9) 所以.因此式(8)也可表示成 (10) 即也是么正矩阵.因此,同一个矢量在不同坐标系中的表示通过一个么正矩阵联系起来. 形式上与此相似,在量子力学中,按态叠加原理,任何一个量子态,可以看成抽象的希尔伯特空间的一个“矢量”.体系的任何一组力学量完全集的共同本征态(简记为,代表一组量子数,为清楚起见,在本节中,假设是离散谱)可以用来构成此态空间的一组正交归一完备的基矢,即 (11) 而体系任何一个态可以用它们展开 (12) 其中 (13) 这一组数就构成矢量在表象中的表示,它们分别是与各基矢的标积.在这里有两点与平常解析几何不同:(1)这里“矢量”一般是复矢量.(2)空间维数可以是无穷,有时甚至是不可数的(连续谱情况). 现在来考虑另一组力学量完全集，其共同本征态为,也是正交归一完备的, (11’) 而同一个态也可以用它们来展开 (12’) 其中 (13’) 这一组数就是态在表象中的表示.它和在表象中的表示有什么联系?显然 (14) 上式左乘,取标积,利用基矢的正交归一性,得 (15) 其中 (16) 是表象的基矢与表象的基矢的标积.把式(15)表示成矩阵形式,则为 (17) 或简记为 (17’) 式(17)就是同一个量子态在表象和表象中的不同表示的关系,它们通过一个矩阵相联系.可以证明 (18) 即变换矩阵乃是一个么正矩阵,所以变换也称为么正变换. 4.5.2 力学量(算符)的矩阵表示 仍以平面矢量作类比.平面上任一矢量.平面上任一矢量,逆时针转动角后,变成另外一个矢量.在坐标系中,它们分别表示成 (19) 试问与有什么关系?令 代表沿逆时针方向把矢