导数及其应用概念及公式总结.docVIP

导数与微积分重要概念及公式总结 1.平均变化率： 称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率 2.导数的概念 从函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是: 我们称它为函数在出的导数，记作或，即 3.导数的几何意义： 函数y=f(x)在x=x0处的导数等于在该点处的切线的斜率，（其中为切点），即 切线方程为： 4.常用函数的导数： （1） 则 （2），则 （3），则 （4），则 （5），则 （6），则 （7），则 （8），则 （9），则 （10），则 （11），则 5.导数的运算法则： （1）． （2）． （3）． （4）． 6.复合函数的导数： 一般地，对于两个函数和的导数间的关系为，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积． 若，则 7.函数的单调性与导数的关系 在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；如果，那么函数在这个区间内单调递减 8.求解函数单调区间的步骤： （1）确定函数的定义域； （2）求导数； （3）解不等式，解集在定义域内的部分为增区间； （4）解不等式，解集在定义域内的部分为减区间． 9.求函数的极值的方法： 解方程，当 （1）如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值 （2）如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值 10.利用导数求函数的最值步骤: ⑴求在内的极值； ⑵将的各极值与端点处的函数值、比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值 11.定积分的一般研究方法: 采用“分割、近似代替、求和、取极值”求曲边梯形的面积 12.定积分的几何意义 13.定积分的性质： （1） （2） （3） 14.函数的奇偶性与定积分的关系（是区间上的连续函数） （1）当是偶函数时， （2）当是奇函数时， 15.定积分与曲边梯形面积的关系： （1）曲边梯形位于x轴上方时，定积分取正值，且等于曲边梯形的面积 （2）曲边梯形位于x轴下方时，定积分取负值，且等于曲边梯形的面积的相反数 16.微积分基本原理: 特别的 例1用数学归纳法证明： （规范书写步骤！） 证明：（1）当n=1时，左边=1，右边=，等式成立。 （2）假设当时等式成立，即 那么， 即当n=k+1时等式也成立。 根据（1）和（2），可知等式对任何都成立 例2：求的单调区间、极值及在上的最大值和最小值 解：因为函数，所以 令，解得 当时，即当时，函数为单调递增函数 当时，即当时，函数为单调递减函数 当变化时，的变化情况如下表 （-2,2） 2 ＋ 0 － 0 ＋ 单调递增 单调递减 单调递增 因此，当x=-2时，函数有极大值，极大值为 当x=2时，函数有极小值，极小值为 在上，当x=2时，函数有极小值，极小值为 又由于，因此，函数在上的最大值为4，最小值为 x y O a b A B C D x y O a b A B C D