2016数学考一轮复习《解三角形应用举例》.docVIP

2016届高三数学一轮基础巩固 第4章 第7节 解三角形应用举例 新人教A版 一、选择题 1．(文)(2014·济南模拟)已知A船在灯塔C北偏东80°处，且A到C距离为2km，B船在灯塔C北偏西40°，AB两船距离为3km，则B到C的距离为(　　) A．eq \r(19)km　　　　　　 B．(eq \r(6)－1)km C．(eq \r(6)＋1)km　 D．eq \r(7)km [答案]　B [解析]　由条件知，∠ACB＝80°＋40°＝120°， 设BC＝xkm，则由余弦定理知9＝x2＋4－4xcos120°， ∵x0，∴x＝eq \r(6)－1. (理)已知两座灯塔A、B与C的距离都是a，灯塔A在C的北偏东20°，灯塔B在C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为(　　) A．a　　　　　　　　　 B．eq \r(3)a C．eq \r(2)a　 D．2a [答案]　B [解析]　由余弦定理可知，AB2＝a2＋a2－2a·a·cos120°＝3a2，得AB＝eq \r(3)a，故选B． 2．一艘海轮从A处出发，以每小时40n mile的速度沿东偏南50°方向直线航行，30min后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南20°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B、C两点间的距离是(　　) A．10eq \r(2)n mile　 B．10eq \r(3)n mile C．20eq \r(2)n mile　 D．20eq \r(3)n mile [答案]　A [解析]　如图，由条件可知△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝105°，AB＝20，∠ACB＝45°， 由正弦定理得eq \f(BC,sin30°)＝eq \f(20,sin45°)，∴BC＝10eq \r(2)，故选A． 3．海上有A、B两个小岛相距10n mile，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B、C的距离是(　　) A．10eq \r(3)n mile　 B．eq \f(10\r(6),3)n mile C．5eq \r(2)n mile　 D．5eq \r(6)n mile [答案]　D [解析]　在△ABC中由正弦定理得eq \f(10,sin45°)＝eq \f(BC,sin60°)， ∴BC＝5eq \r(6). 4．有一长为1的斜坡，它的倾斜角为20°，现高不变，将倾斜角改为10°，则斜坡长为(　　) A．1　 B．2sin10° C．2cos10°　 D．cos20° [答案]　C [解析]　如图，BD＝1，∠DBC＝20°，∠DAC＝10°， 在△ABD中，由正弦定理得eq \f(1,sin10°)＝eq \f(AD,sin160°)， ∴AD＝2cos10°. 5．(文)如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50m，山坡对于地平面的坡度为θ，则cosθ＝(　　) A．eq \f(\r(3),2)　 B．2－eq \r(3) C．eq \r(3)－1　 D．eq \f(\r(2),2) [答案]　C [解析]　在△ABC中，由正弦定理可知， BC＝eq \f(AB·sin∠BAC,sin∠ACB)＝eq \f(100sin15°,sin?45°－15°?)＝50(eq \r(6)－eq \r(2))， 在△BCD中，sin∠BDC＝eq \f(BC·sin∠CBD,CD) ＝eq \f(50?\r(6)－\r(2)?·sin45°,50)＝eq \r(3)－1. 由题图知，cosθ＝sin∠ADE＝sin∠BDC＝eq \r(3)－1. (理)(2014·贵阳模拟)如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18km，速度为1 000km/h，飞行员先看到山顶的俯角为30°，经过1min后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔高度为(精确到0.1km)(　　) A．11.4　 B．6.6 C．6.5　 D．5.6 [答案]　B [解析]　AB＝1 000×eq \f(1,60)＝eq \f(50,3)(km)， ∴BC＝eq \f(AB,sin45°)·sin30°＝eq \f(50,3\r(2))(km)． ∴航线离山顶h＝eq \f(50,3\r(2))×sin75°≈11.4(km)． ∴山高为18－11.4＝6.6(km)． 6.如图，海岸线上有相距5n mile的两座灯塔A、B，灯塔B位于灯塔A的正南方向．海上停泊着两艘轮船，甲船位于灯塔A的北偏西75°方向，与A相距3eq \r(2)n mile的D处；乙船位于灯塔B的北偏西60°方向，