未解决的构图问题.pdfVIP

未解決的構圖問題 一一給學生的一個介紹 曾健威 一. 引言 在寫本文時, 筆者正任教一幾何課。 在收集該課程的資料期間, 筆者從 Arthur Baragar 教授的個人網頁 (參見 [1]) 中認識到一些既漂亮且易明的構圖幾何。 在 Baragar 教授和他之 前的學生 Patrick Hummel 先生同意下, 筆者把他們部分研究成果翻譯成中文, 並收錄在本文 內。 翻譯的目的是為了讓更多人 (尤其是中國人) 認識到他們的漂亮成果。 本文另外的一個 目的 是鼓勵數學教師利用未解決的數學問題 (open questions) 去啟發學生對數學研究的興趣。 二. 何謂未解決的問題? 嚴格來說, 一個未解決的數學問題是指一個 自古到今沒有人能夠給出正確及完滿答案的問 題。 然而, 有些數學問題雖已被解決, 但由於解決者沒有公開發表他們的解決方法 (德國數學家 高斯 (Gauss) 就是一個典型例子) , 所以對大眾來說, 這些問題仍然是未解決的數學問題。 因 此, 普遍來說, 一個未解決的數學問題是指一個還沒有公開解決的問題。 三. 構圖問題 二千年之前, 希臘人嘗試只用規 (compass) 和沒有刻度的尺 (straightedge) 去構作不同 √ 的幾何圖, 如角度、 長度、 正多邊形等。 希臘人發現有一些圖 (例如: 長度 3 2 或者角度 20◦ = 60◦ ) 不能只用規尺構作出來, 他們其後把幾何構圖的問題分為平面 (plane)、 立體 (solid) 和 3 線性 (linear) 三類: 一個可以只用規尺解決的問題稱為平面問題; 一個可用一個或多個圓錐曲 線 (conic section) 加上規尺解決的問題稱為立體問題; 一個要用比較複雜的線加上規尺去解 決的問題稱為線性問題。 26 未解決的構圖問題 — 給學生的一個介紹 27 坊間已有很多關於平面構圖問題的書籍 (參見 [2])。 在本文中, 我們將會討論立體構圖問 題 (第四節) 和二刻尺構圖問題 (第五節)。 四. 立體構圖問題 — 複製正立方體 當 Hummel 唸中學時, 他請 Baragar 給他一個數學研究題 目, 當時 Baragar 給了他一 個有關立體構圖的研究題 目。 結果, Hummel 的研究論文得到 2003年度 Richard V. Andree 大獎。 本節是 Hummel 的研究成果。 定理1 (Hummel [4, Theorem 1]): 設長度 l 為一個可平面構作的長度, 則長度 l 的三 √ √ 次方根 ( 3 l) 是可立體構作的。 事實上, 長度 3 l 是可用單一個橢圓形和規尺構作出來。 2 2