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* * * 期权现值的决定因素 无风险利率 上升下跌的幅度 期权的执行价格和S0 * * * 若p为股票真实的上涨概率，则贴现利率应该反映期权的对应风险。 * * * * * * 美式看涨期权 如果没有红利支付的话，美式看涨期权的最佳执行时间是到期日。 如果有红利支付的话，美式看涨期权可能在到期之前就被执行。 美式看跌期权 不管股票支付红利与否，美式看跌期权都有可能在到期之间被执行。 * * * * * 第九章 二叉树模型 本章内容 * 单期二叉树模型 （无套利思想） 风险中性定价法 多期二叉树模型 欧式 期权 美式 期权 Delta系数 与动态 套期保值 B-S期权定价 9.1 单期二叉树模型 证券价格的连续波动 证券价格的波动是一个连续不断的过程。 假设如果新的冲击出现，证券价格是随机游走的。 证券价格变动简单化 在非常短的时间内，可以假定证券价格波动只有两种可能：上升或下降。 * 市场是有效的 * 1.1 0.9 1.0 1.2 0.8 0.9 0.7 1.1 1.3 1.0 9.1 单期二叉树模型 0 1 2 3 time * 9.1 单期二叉树模型 S= $22 S= $18 S= $20 f= $1 f= $0 f=? 一个三个月后到期的欧式股票看涨期权，敲定价格为$21。 二叉树期权定价的无套利思想 根据期权的特性，可以用二叉树图来描述股票和期权的价格运动。如果能够用一种股票和基于该股票的期权构造一个组合，使得在有效期末该组合的价值是确定的，那么，根据该组合的收益率等于无风险收益率（无套利假设），可以得到构造该组合所需成本（现值），而组合中股票的价格是已知的，于是可以得出期权的价格。 * * 9.1 单期二叉树模型 考虑如下组合: D 股股票多头头寸（long D shares） 22D – 1 18D 如果选取某个D值，使得该组合的终值是相等的（不随股票价格变化而变化），则该组合就是无风险的。 一个看涨期权的空头头寸（short 1 call option） * 9.1 单期二叉树模型 证券组合的终值=4.5 在无套利机会的情况下，无风险证券组合的收益率必定为无风险利率。 证券组合的现值: * 单期二叉树模型的一般化 考虑一个证券组合，包括D股股票多头和一个看涨期权空头 当 S0uD – ?u = S0d D – ?d 该组合是无风险的，即 S0 uD – ?u S0dD – ?d * 单期二叉树模型的一般化 在T时刻，该组合的价值为 S0u D – ?u 在0时刻该组合的现值为 (S0u D – ?u )e–rT 该组合在0时刻的价值也可表达为 S0D – f 因此： ? = S0D – (S0u D – ?u )e–rT * 单期二叉树模型的一般化 ?= S0D – (S0u D – ?u )e–rT where： * 单期二叉树模型的一般化 1、期权价格与股票价格的波动性有关（ stock price volatility）. 2、期权价格与股票预期收益（ stock’s expected return ）无关. 3、期权价格与投资者的风险厌恶程度（risk aversion）无关. * 9.2 风险中性估值法 因此，设定上升运动的概率等于p，就等价于假设股票收益等于无风险利率。 当我们设定上升运动的概率为p时，我们就在假设一个风险中性世界。 风险中性估值Risk-neutral valuation * 9.2 风险中性估值法 变量p 和 (1 – p )为风险中性上涨和下跌概率。 期权的价格是其风险中性世界中的期望值按无风险利率贴现的值。 S0u ?u S0d ?d S0 ? p (1 – p ) * 示例 如前例，股票现价为20元，下一期（3个月后）价格可能是22元或者18元，无风险利率为12%。问一份执行价为21元的股票看涨期权现在价值多少（风险中性定价法）？ 答案 风险中性上涨概率p： 从而期权价格为： * * 9.3 多期二叉树模型 * 以两期二叉树模型为例-看涨期权 S=$20 22 18 24.2 19.8 16.2 0 1 2 time 每步步长3个月，欧式看涨期权还有6个月到期。S0=20,u=1.1,d=0.9；K=21；r=12%。 * 逆推法 S=$20 22 18 24.2 19.8 16.2 3.2 0 e-0.12×0.25(0.6523×3.2＋0.3477×0)＝2.0257 2.02