;43 线性方程组的公式解.ppt

§4.3 线性方程组的公式解 本节讨论线性方程组的公式解问题 (上节) 用初等变换简化线性方程组: a11x1+ a12x2+ ... + a1nxn = b1 , a21x1+ a22x2+ ... + a2nxn = b2 , (1) ...... ...... ...... ...... ...... am1x1+ am2x2+ ... + amnxn = bm , 时, ⑴的系数与常数项均发生变化, 则⑴的公式解当然不能由此简化方程组得出, 须用另一方法简化⑴后, 使简化方程组成为⑴的一部分, 即不产生新的系数与常数项. (先看一例) §4.3 线性方程组的公式解 例1 考察线性方程组 x1+2x2?x3=2, ⑵ 2x1?3x2+x3=3, 4x1+x2?x3=7. 顺次用G1,G2,G3表示上列3方程, 则有: G3 = 2G1+G2. 即, 第3个方程是前两方程的结果, 由中学知识, 可舍去第3方程, 方程组与由前两方程组成的方程组: x1+2x2?x3=2, 2x1?3x2+x3=3, 同解. §4.3 线性方程组的公式解 同样, 顺次用G1,G2,...,Gm表示方程组⑴的m个方程, 而某个方程Gi是其它t个方程G,G,...,G的结果, 即: 若?t个数k1,k2,...,kt , 使关系式: Gi = k1G+ k2G+ ... + kiG 成立, 则可舍去方程组⑴的方程Gi , 从而化简⑴. §4.3 线性方程组的公式解 现设方程组⑴有解, 且系数矩阵的秩r?0. (r=0时显然, 不必讨论) 前2节已知, 经过初等变换后, 可将解方程组⑴归结为解一个含有r个方程的线性方程组. 下面证明: 不用初等变换也可得此结果. §4.3 线性方程组的公式解 定理4.3.1 设方程组⑴有解, 它的系数矩阵A与增广矩阵的共同秩是r?0, 则可在⑴的m个方程中选出r个方程, 使得剩下的m?r个方程中, 每个都是这r个方程的结果, 从而使解方程组⑴归结为解这r个方程组成的方程组. §4.3 线性方程组的公式解 证: ∵ 对方程组⑴的系数矩阵A, 有RankA= r, ∴ A至少含有一个r阶子式D?0. (为了叙述方便) 不妨设D位于A的左上角, 也位于增广矩阵的左上角: §4.3 线性方程组的公式解 我们证明: 方程组⑴的后m?r个方程中每个都是如下, ⑴的前r个方程⑶的结果: a11x1+ ...+a1rxr+ a1,r+1xr+1+ ... + a1nxn = b1 , a21x1+...+a2rxr+ a2,r+1xr+1+ ... + a2nxn = b2 , (3) ...... ...... ...... ...... ...... ...... ar1x1+ ...+arrxr+ ar,r+1xr+1+ ... + arnxr = br , §4.3 线性方程组的公式解 对于⑴的后m?r个方程的任一个, 比如第i(ri?m)个方程: ai1x1+...+airxr+ ai,r+1xr+1+ ... + ainxn = bi , 要证: ? r个数k1,k2,...,kr , 使得: Gi =k1G1 + k2G2 + ... + krGr , 即: a11k1 + a21k2 + ... + ar1kr = ai1 , ............................... a1rk1 + a2rk2 + ... + arrkr = air , ⑷ a1,r+1k1 + a2,r+1k2 + ... + ar,r+1kr = ai,r+1 , ............................. a1nk1 + a2nk2 + ...