第七章第七节空间向量及其运算（理）.docVIP

第七章 第七节 空间向量及其运算（理） 一、选择题 1．空间四点A(2,3,6)、B(4,3,2)、C(0,0,1)、D(2,0,2)的位置关系为(　　) A．共线　　　　　　　　B．共面 C．不共面 D．无法确定 解析：可在空间直角坐标系中作图分析，知A、B、C、D不共面． 答案：C 2.如图，在底面ABCD为平行四边形的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，M是AC与BD的交点，若＝a，＝b，＝c则下列向量中与相等的向量是(　　) A．－a＋b＋c B.a＋b＋c C.a－b＋c D．－a－b＋c 解析：＝＋＝＋＋ ＝－a＋b＋c. 答案：A 3．设空间四点O，A，B，P满足＝＋t，其中0t1，则有(　　) A．点P在线段AB上 B．点P在线段AB的延长线上 C．点P在线段BA的延长线上 D．点P不一定在直线AB上 解析：0t1，P点在线段AB上． 答案：A 4．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若a，b，c三向量共面，则实数λ等于(　　) A. B. C. D. 解析：a、b、c三向量共面，所以存在实数m、n，使得c＝ma＋nb. 即 λ＝. 答案：D 5．(2011·济宁第一次月考)正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，点M在AC1上且＝，N为B1B的中点，则||为(　　) A.a B.a C.a D.a 解析：如图 设＝a， ＝b， ＝c， 则||＝|＋＋| ＝|－＋＋| ＝|－(a＋b＋c)＋a＋c| ＝|a－b＋c| |MN|2＝(a－b＋c)2 可求|MN|＝a. 答案：A 二、填空题 6．(2012·海口模拟)已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)．则以，为边的平行四边形的面积为________． 解析：由题意可得： ＝(－2，－1,3)，＝(1，－3,2)， cos〈，〉＝ ＝＝＝. sin〈，〉＝. 以，为边的平行四边形的面积 S＝2×||·||·sin〈，〉＝14×＝7. 答案：7 7．已知ABCD－A1B1C1D1为正方体，(＋＋)2＝32；·(－)＝0；向量与向量的夹角是60°；正方体ABCD－A1B1C1D1的体积为|··|.其中正确命题的序号是________． 解析：由，，⊥，得(＋＋)2＝3()2，故正确；中－＝，由于AB1A1C，故正确；中A1B与AD1两异面直线所成角为60°，但与的夹角为120°，故不正确；中|··|＝0.故也不正确． 答案： 三、解答题 8．已知非零向量e1，e2不共线，如果＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3e1－3e2，求证：A、B、C、D共面． 证明：令λ(e1＋e2)＋μ(2e1＋8e2)＋v(3e1－3e2)＝0. 则(λ＋2μ＋3v)e1＋(λ＋8μ－3v)e2＝0. e1，e2不共线， 易知是其中一组解， 则－5＋＋＝0. A、B、C、D共面． 9．设向量a＝(3,5，－4)，b＝(2,1,8)，计算2a＋3b,3a－2b，a·b以及a与b所成角的余弦值，并确定λ，μ应满足的条件，使λa＋μb与z轴垂直． 解：2a＋3b＝2×(3,5，－4)＋3×(2,1,8) ＝(6,10，－8)＋(6,3,24)＝(12,13,16)． 3a－2b＝3×(3,5，－4)－2×(2,1,8) ＝(9,15，－12)－(4,2,16)＝(5,13，－28)． a·b＝(3,5，－4)·(2,1,8)＝6＋5－32＝－21. |a|＝＝， |b|＝＝， cos〈a，b〉＝＝ ＝－. λa＋μb与z轴垂直， (3λ＋2μ，5λ＋μ，－4λ＋8μ)·(0,0,1) ＝－4λ＋8μ＝0，即λ＝2μ. 当λ，μ满足λ＝2μ时，可使λa＋μb与z轴垂直． 10.直三棱柱ABC－A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，ACB＝90°，D、E分别为AB、BB′的中点． (1)求证：CEA′D； (2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值． 解：(1)证明：设＝a，＝b，＝c， 根据题意，|a|＝|b|＝|c|且a·b＝b·c＝c·a＝0. ＝b＋c，＝－c＋b－a. ·＝－c2＋b2＝0， ⊥，即CEA′D. (2) ＝－a＋c，||＝|a|，||＝|a|. ·＝(－a＋c)·(b＋c)＝c2＝|a|2， cos〈，〉＝＝. 即异面直线CE与AC′所成角的余弦值为.