第3章 ,第一节 可测函数的定义与其简单性质.pdf

第三章 可测函数 第一节 可测函数的定义及其简单性质 新的积分（Lebesgue积分,从分割值域入手） E x {y : f x ( )y i } i−1 ≤ i yi yi-1 y i i y i−1 ≤ξ 用mE 表示E 的“长度” i i n ( ) L ( ) f x limdx ∑ξ mE ∫ i i [ , a ] b δ →0 i 1 问题：怎样的函数可使E 都有“长度”(测度)? i 1可测函数定义 定义：设f(x)是可测集E上的实函数(可取±∞ ) ， 若 可测，则称f(x)是E上的可测函数。 ∀∈a R,E( f a) 例(1) 零测集上的任何函数都是可测函数。 注：称外测度为0的集合为零测集；零测集 的子集，有限并，可数并仍为零测集 (2)简单函数是可测函数 n E ∪ E 若 i 1 i ( Ei 可测且两两不交），f(x)在 每个E 上取常值c ，则称f(x)是E上的简单函数； i i n 1x E∈ f x c (x ) ∑ χ( ) χ( )x { i i E i E x 0E∈E−