数学竞赛—几何不等式.docVIP

几何不等式 一、知识点： 1、有关线段不等的性质 公理 在连接两点的所有线中线段最短 定理1 在同一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边 定理2 在同一个三角形中大角对大边 定理3 在两个三角形中，如果有两组对应边分别相等，那么夹角大的对边较大 已知：在ΔABC和ΔABC中，AB＝AB，AC＝AC，∠BAC＞∠BAC． 求证：BC＞BC． 分析：将ΔABC平移到ΔABD，连接CD，则ΔADC是等腰三角形，作AE⊥CD于E，交BC于H，连接HD．由等腰三角形的轴对称性得HC＝HD，则BC＝BH＋HC＝BH＋HD＞BD＝BC． 从而得证． 2、有关角不等的性质 定理1 三角形的任一外角大于和它不相邻的任意一个内角 定理2 在同一个三角形中大边对大角 定理3 在两个三角形中，如果有两组对应边分别相等，那么第三边所对的角也大 二、例题 例1、已知直线l上有依次5个点A、B、C、D、E，那么到这五个点距离和最小的点( ) A．在线段AE之外的某个点 B．有无穷多个 C．只能是AE中点 D．只有1个点 解：选 D 例2、如果7条线段的长都是正整数，且任取其中3条都不能组成三角形，则其中最长的线段至少长为( ) A．13 B．14 C．15 D．21 解：这7条线段长度依次至少为1，1，2，3，5，8，13．即最长的线段至少为13，故选A． 延伸：介绍费波那契数列 思考： (1)、若六边形周长等于20，各边长为整数，且以它们的任意三边为边不能构成三角形，这样的六边形（ ） A、不存在 B、只有一个 C、有有限个但不止一个 D、有无穷多个 解：选 D (2)、有一根长150厘米的铁丝，现要将其截成n小段，每段长均为整数，且任意3段都不能构成三角形，求n的最大值并说明有哪几种不同的截法。 解：n最大值为10，有几种不同的截法关键是看最后剩下的7厘米的铁丝有几种满足要求的不同的截法，共有7种不同的截法。 例3、在⊿ABC中，AD是中线，∠ADB的平分线交AB于点M，∠ADC的平分线交AC于点N，求证：BM＋CN＞MN． 分析：提供两种不同的思路：一条是抓住中线，渗透利用旋转变换来解题的思想；另一条思路是抓住角平分线，渗透利用翻转（折叠）来解题的思想。 证明：（抓住角平分线）在DA上取点E，使DE＝DB，连EM，EN． 则易证△DEM≌△DBM，△DEN≌△DCN． ∴ EM＝BM，EN＝BN． 在△EMN中EM＋EN＞MN．即BM＋CN＞MN 问：图中点E可能在线段MN上或下方吗？ （不可能，由于∠B＋∠C＜180°，若E点在线段MN上或下方，说明∠B＋∠C≥180°，从而得到矛盾。） 例4、四边形ABCD的对角线AC⊥BD，垂足为O，已知：OA＞OC，OB＞OD． 求证：BC＋AD＞AB＋CD． 证明 ：在OA上取点E，使OE＝OC，在OB上取点F，使OF＝OD，连BE，AF． 则由三合一定理知△BCE、△ADF都是等腰三角形．AF＝AD，BE＝BC． 易证△OEF≌△OOCD，∴EF＝CD． 题27—9在四边形ABFE中，BE ＋AF ＞AB＋EF．即BC＋AD＞AB＋CD 题27—9 例5、设P是高为h的正三角形内一点，P到三边的距离分别为x、y、z(x≤y≤z)，若以x、y、z为边可以组成三角形，则z应满足条件( ) A． eq \f(1,4)h≤z＜ eq \f(1,3)h B． eq \f(1,3)h≤z＜ eq \f(1,2)h C． eq \f(1,2)h≤z＜ eq \f(3,4)h D． eq \f(3,4)h≤z＜h 解：易证x＋y＋z＝h，x＋y＞z．故z＜ eq \f(1,2)h ，但由x≤y≤z ，知3z≥x＋y＋z＝h，故z≥ eq \f(1,3)h ，选B． 思考： 1、在ΔABC中，AB≤AC≤BC，且最小的内角不小于59°，则最大内角的最大值是______度． 解：180°－59°－59°＝62° 2、三角形的三个内角分别为∠A、∠B、∠C，且∠C≤∠B≤∠A，∠A＝2∠C，则∠B的取值范围是____________。 解：45°≤∠B≤72° 3、用长度相等的100根火柴杆，摆放成一个三角形，使最大边的长度是最小边长度的3倍，求满足此条件的每个三角形的各边所用火柴杆的根数． 解：设各边需要的火柴分别为x，y，3x，则x＋y＋3x＝100，x≤y≤3x，x＋y＞3x．则 eq \f(100,7)≤x≤20，从而x为15或16。两组解分别为15，45，40；16，48，36。 例6、如果ΔABC内存在一点