二叉树是我们都非常熟悉的一种数据结构.docVIP

二叉树是我们都非常熟悉的一种数据结构。它支持包括查找、插入、删除等一系列的操作。但它有一个致命的弱点，就是当数据的随机性不够时，会导致其树型结构的不平衡，从而直接影响到算法的效率。 跳跃表（Skip List）是1987年才诞生的一种崭新的数据结构，它在进行查找、插入、删除等操作时的期望时间复杂度均为O(logn),有着近乎替代平衡树的本领。 而且最重要的一点，就是它的编程复杂度较同类的AVL树，红黑树等要低得多，这使得其无论是在理解还是在推广性上，都有着十分明显的优势。 跳跃表由多条链构成（S0，S1，S2 ……，Sh），且满足如下三个条件： （1） 每条链必须包含两个特殊元素：+∞ 和 -∞ （2） S0包含所有的元素，并且所有链中的元素按照升序排列。 （3） 每条链中的元素集合必须包含于序数较小的链的元素集合，即： 【基本操作】 在对跳跃表有一个初步的认识以后，我们来看一下基于它的几个最基本的操作。 一、 查找 目的：在跳跃表中查找一个元素x 在跳跃表中查找一个元素x，按照如下几个步骤进行： i) 从最上层的链（Sh）的开头开始 ii) 假设当前位置为p，它向右指向的节点为q（p与q不一定相邻），且q的值为y。将y与x作比较 (1) x=y 输出查询成功及相关信息 (2) xy 从p向右移动到q的位置 (3) xy 从p向下移动一格 iii) 如果当前位置在最底层的链中（S0），且还要往下移动的话，则输出查询失败 二、插入 目的：向跳跃表中插入一个元素x 首先明确，向跳跃表中插入一个元素，相当于在表中插入一列从S0中某一位置出发向上的连续一段元素。有两个参数需要确定，即插入列的位置以及它的“高度”。 关于插入的位置，我们先利用跳跃表的查找功能，找到比x小的最大的数y。根据跳跃表中所有链均是递增序列的原则，x必然就插在y的后面。 而插入列的“高度”较前者来说显得更加重要，也更加难以确定。由于它的不确定性，使得不同的决策可能会导致截然不同的算法效率。为了使插入数据之后，保持该数据结构进行各种操作均为O(logn)复杂度的性质，我们引入随机化算法（Randomized Algorithms）。 我们定义一个随机决策模块，它的大致内容如下： ·产生一个0到1的随机数r r ← random() ·如果r小于一个常数p，则执行方案A， if rp then do A 否则，执行方案B else do B 初始时列高为1。插入元素时，不停地执行随机决策模块。如果要求执行的是A操作，则将列的高度加1，并且继续反复执行随机决策模块。直到第i次，模块要求执行的是B操作，我们结束决策，并向跳跃表中插入一个高度为i的列。 性质1： 根据上述决策方法，该列的高度大于等于k的概率为pk-1。 此处有一个地方需要注意，如果得到的i比当前跳跃表的高度h还要大的话，则需要增加新的链，使得跳跃表仍满足先前所提到的条件。 我们来看一个例子： 假设当前我们要插入元素“40”，且在执行了随机决策模块后得到高度为4 ·步骤一：找到表中比40小的最大的数，确定插入位置步骤二：插入高度为4的列，并维护跳跃表的结构 三、删除 目的：从跳跃表中删除一个元素x 删除操作分为以下三个步骤： （1） 在跳跃表中查找到这个元素的位置，如果未找到，则退出 * （2） 将该元素所在整列从表中删除 * （3） 将多余的“空链”删除 * 所谓“记忆化”查找，就是在前一次查找的基础上进行进一步的查找。它可以利用前一次查找所得到的信息，取其中可以被当前查找所利用的部分。利用“记忆化”查找可以将一次查找的复杂度变为O(logk)，其中k为此次与前一次两个被查找元素在跳跃表中位置的距离。 下面来看一下记忆化有哪些信誉好的足球投注网站的具体实现方法： 假设上一次操作我们查询的元素为i，此次操作我们欲查询的元素为j。我们用一个update数组来记录在查找i时，指针在每一层所“跳”到的最右边的位置。如图4.1中橘黄色的元素。（蓝色为路径上的其它元素）在插入元素j时，分为两种情况： （1） i=j从S0层开始向上遍历update数组中的元素，直到找到某个元素，它向右指向的元素大于等于j，并于此处开始新一轮对j的查