专题概率与统计第1讲.pptVIP

* －5 －1 40 * 专题六　概率与统计 第1讲　排列与组合、二项式定理 【高考真题感悟】 (2011·天津改编)在6的二项展开式中，x2的系数为________． 解析　该二项展开式的通项为Tr＋1＝C6－r·r＝(－1)rC··x3－r.令3－r＝2，得r＝1. ∴T2＝－6×x2＝－x3. － 考题分析　本小题考查了二项式定理、二项展开式的通项公式，二项展开式指定项系数的求法．考题难度不大，突出对基础知识的考查．对二项式定理的考查，通常是以考查基础知识为主的填空题形式出现． 易错提醒　(1)错用二项展开式的通项公式． (2)根式与指数式转化过程计算出错． (3)易忽略系数的符号(－1)r，可能致误． 主干知识梳理 1．分类计数原理和分步计数原理 如果每种方法都能将规定的事件完成，则要用分类加法计数原理将方法种数相加；如果需要通过若干步才能将规定的事件完成，则要用分步乘法计数原理将各步的方法种数相乘． 2．排列与组合 (1)排列：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．从n个不同元素中取出m个元素的排列数公式是A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)或写成A＝. (2)组合：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．从n个不同元素中取出m个元素的组合数公式是 C＝ 或写成C＝. (3)组合数的性质 ①C＝C； ②C＝C＋C. 3．二项式定理 (1)定理：(a＋b)n＝Canb0＋Can－1b＋Can－2b2＋…＋Can－rbr＋…＋Ca0bn(r＝0,1,2，…，n)． (2)二项展开式的通项 Tr＋1＝Can－rbr，r＝0,1,2，…，n，其中C叫做二项式系数． (3)二项式系数的性质 ①对称性：与首末两端“等距离”两项的二项式系数相等， 即C＝C，C＝C，…，C＝C，…. ②最大值：当n为偶数时，中间的一项的二项式系数 取得最大值；当n为奇数时，中间的两项的二项式系数，相等，且同时取得最大值． ③各二项式系数的和 a．C＋C＋C＋…＋C＋…＋C＝2n； b．C＋C＋…＋C＋…＝C＋C＋…＋C＋… ＝·2n＝2n－1.热点分类突破 题型一　排列与组合 例1　4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内． (1)恰有1个盒不放球，共有几种放法？ (2)恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？ (3)恰有2个盒不放球，共有几种放法？ 思维启迪 (1)确定一个空盒→将四个球放入3个盒内→选2个球放入一个盒内． (2)与(1)的含义相同． (3)4个球放入2个盒子，可以平均放也可以不平均放． 解　(1)为保证“恰有1个盒不放球”，先从4个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”即把4个球分成2,1,1的三组，然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球放在另外2个盒子内，由分步计数原理，共有CCC×A＝144(种)． (2)“恰有1个盒内有2个球”，即另外3个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，也即另外3个盒子中恰有一个空盒，因此，“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事，所以共有144种放法． (3)确定2个空盒有C种方法． 4个球放进2个盒子可分成(3,1)、(2,2)两类，第一类有序不均匀分组有CCA种方法；第二类有序均匀分组有 ·A种方法． 故共有C(CCA＋·A)＝84(种)． 探究提高 对于排列、组合的综合题目，一般是将符合要求的元素取出或进行分组，再对取出的元素或分好的组进行排列，即一般策略为先组合后排列．分组时，要注意“平均分组”与“不平均分组”的差异及分类的标准． 变式训练1 (1)一条长椅上有9个座位，3个人坐，若相邻2人之间至少有2个空椅子，共有几种不同的坐法？ (2)一条长椅上有7个座位，4个人坐，要求3个空位中，恰有2个空位相邻，共有多少种不同的坐法？ 解　(1)先将3人(用×表示)与4张空椅子(用□表示)排列如图(×□□×□□×)，这时共占据了7张椅子，还有2张空椅子，一是分开插入，如图中箭头所示(↓×□↓□×□↓□×↓)，从4个空当中选2个插入，有C种插法；二是2张同时插入，有C种插法，再考虑3人可交换有A种方法．所以，共有A(C＋C)＝60(种)； (2)可先让4人坐在4个位置上，有A种排法，再让2个“元素”(一个是两个作为一个整体的空位，另一个是单独的空位)插入4个人形成的5个“空当”之间，有A种插法，所以所求的坐法数为A·A＝480. 题型二　求二项展开式的通项、指定项 例2　设f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n展开式中x的系数是19(m，n∈N*)． (1)求f(x)展开式中x2的系数的最小值； (2)