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基于最小二乘法的多项式拟合 一 最小二乘法的基本原理 设已知某物理过程的一组观测数据 ， . （1） 要求在某特定函数类寻求一个函数作为的近似函数，使得二者在上的残差 ， （2） 按某种度量标准为最小，这就是拟合问题. 要求残差按某种度量标准为最小，即要求由残差构成的残差向量的某种范数为最小，要求，或即 为最小，这本来都是很自然的，可是计算不太方便.通常要求： 或者 （3） 为最小.这种要求误差平方和最小的拟合称为曲线拟合的最小二乘法.就是说，最小二乘法提供了一种数学方法，利用这种方法可以对实验数据实现在最小平方误差意义下的最好拟合.在曲线拟合中，函数类可有不同的选取方法.下面就常用的多项式拟合做介绍。 二 多项式拟合 假设给定数据点(i=0,1,…,m)，为所有次数不超过的多项式构成的函数类，现求一,使得 (4) 当拟合函数为多项式时，称为多项式拟合，满足式（4）的称为最小二乘拟合多项式。特别地，当n=1时，称为线性拟合或直线拟合。 显然 为的多元函数，因此上述问题即为求的极值 问题。由多元函数求极值的必要条件，得 (5) 即  (6) （6）是关于的线性方程组，用矩阵表示为 (7) 式（6）或式（7）称为正规方程组或法方程组。 可以证明，方程组（7）的系数矩阵是一个对称正定矩阵，故存在唯一解。从式（7）中解出(k=0,1,…，n)，从而可得多项式  (8) 可以证明，式（8）中的满足式（4），即为所求的拟合多项式。我们把称为最小二乘拟合多项式的平方误差，记作 由式(5)可得 (9) 多项式拟合的一般方法可归纳为以下几步： (1) 由已知数据画出函数粗略的图形——散点图，确定拟合多项式的次数n； (2) 列表计算和； (3) 写出正规方程组，求出； (4) 写出拟合多项式。 在实际应用中，或；当时所得的拟合多项式就是拉格朗日或牛顿插值多项式。 例1 测得铜导线在温度(℃)时的电阻如表6-1，求电阻R与温度 T的近似函数关系。 i 0 1 2 3 4 5 6 (℃) 19.1 25.0 30.1 36.0 40.0 45.1 50.0 76.30 77.80 79.25 80.80 82.35 83.90 85.10 解 画出散点图（图6-2），可见测得的数据接近一条直线，故取n=1，拟合函数为 列表如下 i 0 19.1 76.30 364.81 1457.330 1 25.0 77.80 625.00 1945.000 2 30.1 79.25 906.01 2385.425 3 36.0 80.80 1296.00 2908.800 4 40.0 82.35 1600.00 3294.000 5 45.1 83.90 2034.01 3783.890 6 50.0 85.10 2500.00 4255.000 245.3 565.5 9325.83 20029.445 正规方程组为 解方程组得 故得R与T的拟合直线为 利用上述关系式，可以预测不同温度时铜导线的电阻值。例如，由R=0得T=-242.5，即预测温度T=-242.5℃时，铜导线无电阻。 6-2 例2???? 已知实验数据如下表 i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 1 3 4 5 6 7 8 9 10 10 5 4 2 1 1 2 3 4 试用最小二乘法求它的二次拟合多项式。 解 设拟合曲线方程为  列表如下 I 0 1 10 1 1 1 10 10 1 3 5 9 27 81 15 45 2 4 4 16 64 256 16 64 3 5 2 25 125 625 10 50 4 6 1 36 216 1296 6 36 5 7 1 49 343 2401 7 49 6 8 2 64 512 4096 16 128 7 9 3 81 729 6561 27 243 8 10 4 100 1000 10000 40 400 53 32 381 3017 25317 147 1025 得正规方程组 解得 故拟合多项式为 三 多项式拟合的MATLAB实现 用Polyfit函数P=polyfit(x,y,n)对数据进行拟合，返回n次多项式的系数，并用降序排列的向量表示，长度为n+1. [p,s]=pol