【2017年整理】对一些周期轨迹为一个哈密顿流的一个凸表面能.docVIP

对一些周期轨迹为一个哈密顿流的一个凸表面能 保守力学系统或物理可以汉密尔顿方程× R, 即相空间，n为自由度数。第一个n部分x=(x1,...,xn）代表位置变量，最后的一个n部分p=（p1,...,pn)代表动量变量。Hamilton函数H:R×RR，代表系统的能量。事实上，这是方程（H）的一个直接后果，H是一个运动积分，即 H(x(t), p(t)) 沿着任何（H）的解是恒定不变的。 方程(H）可以写更简洁的方式。介绍在R中的相变量u = (x, p)和R到自身的一条辛线性映射σ。 （1） 我们用H来表示H的欧几里得梯度，方程（1）可表示为： （H） 在本文中，我们对（H）方程的周期解有兴趣。我们将假设原点是一个平衡点，即H(0)=0。所以方程（H）对于所有的t有常数解（因此是周期的）u（t）=0。然后问题是找到非恒定的周期解。它已从两个方向被攻克，一个是可以规定周期T或者h能级。 对于固定周期的问题，我们参考Rabinowit，Clarke-Ekeland的论文。我们简单的提到在这些论文中存在的证明，对于每个T0，一些非固定周期T的（H）方程在不同的假设下H的波形和增长。 我们将处理与固定能量的问题。它可以追溯Liapunov，在他的平衡稳定性的研究里有遇到过。从现在起，我们通过设置H（0）=0来测量Hamilton函数。我们应该考虑（H)方程的轨迹而不是解：if u(t) is a solution of (H), a translation in time, v(t) = u(t + θ）, yields a different solution but the same trajectory Liapunov已经解释过，如果H是解析的，并且二次导数H(0)是非共振的，那么存在一个ε 0 ，对在(-ε，ε）中的所有h≠0，有至少n个不同的周期轨道和h能级。在一个著名的论文中，Weinstein已经证明过同样的结果，假设只有H是C和H(0)是正定的。 所有的这些结果都是局部的，只有在未指明的原点附近才能成立，所以问题出现了，是否存在一个全局解对所有h0都成立。Seifert成功地分离了Hanmilton函数，H(x，p）=，是正定的，Weinstein为C严格的凸Hamilton函数，Clarke为一般的凸Hamilton函数已经证明对于每个h0的能级至少存在一个周期轨迹。然而，Rabinowitz有一个结果超出了凸Hamilton函数。 他还展示了如何从固定周期的情况下如何推断固定能量的实例。本文的的基本结论（定理4.1），如果H是凸的并且满足一致的估计 对于一些a0，在每个h0的能量级上至少有n个不同的周期轨道。这个定理和它的推论，构成了Weinstein定理的全局解第一步。 这个证明利用了H关于变量u=（x，p）的Legendre变换G。执行这样一个关于变量p单独的转换是经典的：这是如何从Hamilton函数表述还原成拉格朗日函数。但是， 执行关于两个变量一起转换是新的思想。它是由Aubin-Ekeland在另一个环境里介绍的，由Clarke用它来找出周期解。他的方法是本文[6],[7]所示的经典最小作用量原理： （8） 具有另一种表述： （9) 注意这一点，Legendre变换HG失去了衍生物，例如，如果H是G,则G仅仅是连续的。这使得在处理上通过标准方法和凸面分析工具将产生技术性的困难。 规定适当的边界条件，得到两个问题在微积分变化是等价的：有明确的公式转换一个极值问题到另外一个极值问题。例如，在方程(H)的解看起来是T周期的情况下，第一个问题在适当的边界条件下是，第二个问题是，其中v=(y,q)。 从技术角度来看，改变时间比例更好，所以总是处理区间（0,1）。我们将在Hilbert空间E上使得所有函数v=(y,q)满足以下条件； （10） 我们定义函数J和K： （12) 函数用于本文[6],[7]，可以找到T-周期解是K+TJ。