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电磁波的散射 小组成员：方福衣 童帆 许健 赵远 （按姓氏排序，排名不分先后） 散射 电磁波在空气中传播时常常受到如云、雨等水汽凝结物的散射。这些散射体通常可看做小球体。 球体对电磁场的散射，分为： （a）瑞利散射 （b）米氏散射 由入射辐射λ与散射质点的相对大小a，将散射分为瑞利散射和米氏散射 a λ时，瑞利散射 a~λ时，米式散射 瑞利散射 小球 a 考察一个球形粒子，介电常数 ，磁导率 ，半径a，位于坐标系原点。一个z方向极化的平面波入射到粒子上， 。Z方向的电场在粒子上感应出偶极矩，因此粒子作为一个偶极子天线产生再辐射。其解具有如下形式 在非常靠近原点的地方kr1： （1） 瑞利散射 其中， 假设小球内部的场是均匀的，而且与入射场方向相同，有： 在小球表面r=a处，边界条件要求切向电场E和法向电位移矢量D在边界上连续，因此有： 如果用入射场幅度 表示，可以将以上两式写为: 瑞利散射 现在我们研究当kr1时的散射场。公式（1）给出 小球总的散射功率为： 因此总的散射功率与波数的4次方成正比，高频波比低频波散射更强。散射功率也与半径的6次方成正比。 带入（1）式中，就得到了瑞利散射的电磁场 则可以得到偶极矩IL为: 标量波函数 考虑亥姆霍茨方程 在球坐标系中的解 方法：球坐标系下的分离变量法 令 1,谐方程 2,连带勒让德方程 其解为谐函数 标量波函数 其解为连带勒让德函数 第一类连带勒让德函数 第二类连带勒让德函数 3,球贝塞尔方程 解为球贝塞尔函数 球贝塞尔函数与半整数阶贝塞尔函数的关系 球贝塞尔函数也有四种类型 标量波函数 圆球坐标系中的标量基本波函数为 圆球坐标系中的标量基本波函数展开的标量亥姆霍兹方程的通解为 德拜位函数的引入 赫兹电位 赫兹磁位 在无源区域，赫兹位函数满足以下方程： 德拜电位 德拜磁位 在无源区域，德拜位函数满足球坐标系下的亥姆霍兹方程： （1） 米氏散射 为方便求解，可将球面波分解为r方向的TM波和r方向的TE波。 由德拜位函数可知： 由麦克斯韦方程组和式（1）可知： （2） 米氏散射 这样总的电磁场就分解为TE和TM波分量 ，并用德拜电位和磁位表示出来 考虑一个半径为a的小球位于坐标系原点（如右图），且具有介电常数和磁导率，入射平面波为： 米氏散射 为了与球面边界条件相匹配，利用波变换的方法将入射波以球面谐波的形式表示。 为确定入射波的德拜电位，注意， 其中， 因为 所以从n=1开始求和。电位 满足（2）式，可以表示为： 米氏散射 通过对偶过程，磁位 为： 因此散射场可以用德拜电位和磁位表示为 小球外部的总场等于入射场和散射场的和。小球内部电场可以用德拜电位表示为： 其中， 米氏散射 在r=a处的边界条件要求 ， ， ， 连续，因此4个方程是可解得未知数 根据以上（2）式，4个系数可解得： 米氏散射 在小球的情况下，ka1， 1,只有n=1一项起主要作用，因此 结果就成为瑞利散射的形式。对于有限半径球的电磁波散射，当瑞利散射的限制条件ka1不满足时，发生的现象就叫米氏散射。 导体柱的散射 精确解 Company Logo 导体柱的散射 Company Logo Company Logo Company Logo Company Logo Company Logo 关于watson变换 在电磁场问题中，许多边值问题的解可以表示成下面的级数： 当 远大于1时收敛性很差，为了解决它的收敛性问题将它拓展到复数平面上，应用复变函数的方法，可以把上式表示为复平面上的回路积分，其积分路径 如图所示 说明：变换前后在数学上没有改变其收敛性，物理上也没有揭示新的概念，唯一不同的是变换后可以对积分路径 的改造，使得 的值与 在复平面 上奇点相关联，并通过这种联系揭示出某种特性。 下面我就维特森变换在圆柱导体散射问题的应用来讲解一下。 维特森（Watson） 导体柱精确解的收敛很慢，用维特森变换将剩余级数和围线积分联系起来，将围线 在复平面 中画出，假设 在实轴没有奇点，得到 由于 在 积分于 乘以函数 的余相，对 的所有整数值余相为 为了利用维特森变换可以确定 为 的奇点有 的零点引起可以将右边的围线积分通过转化