无穷小量的比较.ppt

例1. 证明方程ln(1+ex)=2x至少有一个小于1的正根. 证: 记 f (x)= ln(1+ex)–2x, 知 f (x)在[0,1]上连续. 且f (0)=ln20, f (1) = ln(1+e)–2 =ln(1+e) –lne2 0 由定理1, 至少存在一点x0?(0, 1), 使得 故方程ln(1+ex)=2x至少有一个小于1的正根. 定义1. 设 f (x)在区间I上有定义. 若?x0?I, 使?x?I. 有 f (x) ? f (x0) (或 f (x) ? f (x0)), 则称f (x0)为f (x)在I上的最大(或最小)值. 记作 定理3. 若f (x)在[a, b]上连续,则 f (x)在[a, b]上一定取得最大值和最小值. 推论1. 若f (x)在[a, b]上连续, 则f (x)在[a, b]上有界. 0 a b x y x1 x2 B A M1 M2 看图 推论2. 若f (x)在[a, b]上连续, 则对任何满足 m?c ? M的值c, ?x0?[a, b], 使得f (x0)=c. 例2. 0 y x 1 例3. 不存在x0?(–1, 1), 使得f (x0) = 0. 看图 可见, 在定理1－3中,不能将“ [a, b]”改为“ (a, b)”; 连续这一条件不能少. 0 y x 1 –1 1 1. 函数项级数及部分和函数列(数列) 设un(x), n = 1, 2, …都是定义在实数集X上的函数, 称 (1) 为函数项级数, 为级数(1)的前n项部分和. 称函数列{Sn(x)}, 为级数(1)的部分和函数列(数列). 称 第十节　函数项级数 一、函数项级数的一般概念 2.函数项级数的收敛、发散和收敛域 ?x0?X, 由于各un(x)在X上有定义, 从而un(x)存在. 将 x0 代入级数(1)　　　　中, 可得常数项级数 收敛点(或称级数(1)在 x0 收敛), 否则称 x0 为级数(1)的发散点(或称(1)在 x0 发散). 称级数(1) 的收敛点所成的集合D为级数(1)的收敛域. 当收敛域是一区间时, 称为收敛区间. 若级数(1)在区间I上每点都收敛, 则称(1)在I上收敛. 3.和函数 若级数(1)　　　　的收敛域 D ? ?, 是一确定的实数, 从而 则?x0?D, 函数. 记此函数为 S(x), 即 易见, 4.一致收敛 我们知道, 有限个函数和的极限等于各函数的极限之和; 有限个连续函数之和仍为连续函数. 问题: 1. 是否有 其中右端各项极限均存在. 2. 若 在[a, b]内连续, 问 在[a, b]内连续? 回答是都不一定. 例1. 易知, 它的每一项 xn ?xn?1在[0, 1]上连续(n=2, 3, ???). 且 Sn(x) = xn , 令 n ??, 有 = 0 , 0 ? x 1. 1 , x = 1. 知 S(x) 在 x = 1不连续, 它不是[0, 1]上的连续函数. 即 为保证级数可逐项求极限(以后还有求导，求积), 必须引进一致收敛的概念. 设 的收敛域为D, 和函数为S(x), 部分 和为Sn(x), 则?x0?D, 有 即?? 0, ?N 0, 当n N时, 有|Sn(x0) – S(x0)|? . 一般, 其中 N 不仅仅与 ? 有关, 还与 x0 有关, 对同一个? , 当 x0 不同时, N也不同, 即 N = N(?, x0). 若对某个级数而言, 存在只与 ? 有关而与 x0 无关的N, 则称该级数在D上一致收敛. 如图. x y o B=?(x0) A x0+ ?x ?y C D x0 ?x0 ?y=CD的长 y=?(x) x y o f (x0) x0+?x x0+?x x0 ?x0 ?x0 ?y M N ?y=CD的长 ?y= –(MN的长) C D y=f (x) 定理2. 若f (x), g(x)在点 x0处连续, 则 (1) af (x)+bg(x)在x0处连续, 其中a, b为常数. (2) f (x) ·g(x)在x0连续. (3) 当 g(x0)?0时, 二、连续函数的基本性质 定理3. 设若y=f [?(x)]由 y=f (u), u=?(x)复合而成. 若u=?(x)在x0连续, u0=?(x0), 而y=f (u)在u0 则复合函数y=f [?(x)]在x0连续. 连续, 证: 要证y=f [?(x)]在x0连续, 只须证??0, ??0, 当|x–x0|? 时, 有| f [?(x)] –f [?(x0)]|?. 即可. ??0, 因y=f (u)在u0连续, 故?? 0, 当|u–u0|?, 有| f (