高三二轮复习专题恒成立与存在性问题.doc

校本资源作业 高三二轮复习专题——恒成立与存在性问题 在代数综合问题中常遇到存在性问题．涉及常见函数的性质、图象，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法． (1)恒成立问题 ?x∈D,均有f(x)A恒成立，则f(x)minA； ?x∈D,均有f(x)﹤A恒成立，则 f(x)max. 3. ?x∈D,均有f(x) g(x)恒成立，则(x)= f(x)- g(x) 0，∴ F(x)min 0 4. ?x∈D,均有f(x)﹤g(x)恒成立，则(x)= f(x)- g(x) ﹤0，∴ F(x) max ﹤0 5. ?x1∈D, ?x2∈E,均有f(x1) g(x2)恒成立，则f(x)min g(x)max 6?x1∈D, ?x2∈E,均有f(x1) g(x2)恒成立，则f(x) max g(x) min ()存在性问题 ?x0∈D,使得f(x0)A成立，则f(x) max A； ?x0∈D,使得f(x0)﹤A成立，则 f(x) min ?x0∈D,使得f(x0) g(x0)成立，(x)= f(x)- g(x)，∴ F(x) max 0 4. ?x0∈D,使得f(x0) g(x0)成立，(x)= f(x)- g(x)，∴ F(x) min 0 5. ?x1∈D, ?x2∈E, 使得f(x1) g(x2)成立，则f(x) max g(x) min 6. ?x1∈D, ?x2∈E,均使得f(x1) g(x2)成立，则f(x) min g(x) max ()相等问题 ?x1∈D, ?x2∈E,使得f(x1)=g(x2)成立，则 f(x)} {g(x)} (4)恒成立与存在性的综合性问题?x1∈D, ?x2∈E, 使得f(x1) g(x2)成立，则f(x)min g(x) min ?x1∈D, ?x2∈E, 使得f(x1) g(x2)成立，则f(x) max g(x) max (5)恰成立问题 1. 若不等式f(x)A在区间D上恰成立，则等价于不等式f(x)A的解集为D； 2.若不等式f(x)B在区间D上恰成立，则等价于不等式f(x)B的解集为D. ?　探究点一 ?x∈D，f(x)g(x)的研究，，其中，． 对任意，都有恒成立，求实数的取值范围； 【思路分析】等价转化为函数恒成立，通过分离变量，创设新函数求最值解决． 简解：（1）由成立，只需满足的最小值大于即可．对求导，，故在是增函数，，所以的取值范围是． ?　探究点二 ?x∈D，f(x)g(x)的研究对于?xD，f(x)g(x)的研究，先设h(x)＝f(x)－g(x)，再等价为?xD，h(x)max0，其中若g(x)＝c，则等价为?xD，f(x)maxc. 已知函数f(x)＝x3－ax2＋10. (1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程； (2)在区间[1,2]内至少存在一个实数x，使得f(x)0成立，求实数a的取值范围． 【解答】 (1)当a＝1时，f(x)＝3x2－2x，f(2)＝14， 曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线斜率k＝f(2)＝8， 所以曲线y＝f(x)在点(2，f(x))处的切线方程为 8x－y－2＝0. (2)解法一：f(x)＝3x2－2ax＝3x(1≤x≤2)， 当a≤1，即a≤时，f(x)≥0，f(x)在[1,2]上为增函数， 故f(x)min＝f(1)＝11－a，所以11－a0，a11，这与a≤矛盾． 当1a2，即a3时， 当1≤xa，f(x)0；当ax≤2，f(x)0， 所以x＝a时，f(x)取最小值， 因此有f0，即a3－a3＋10＝－a3＋100，解得a3，这与a3矛盾； 当a≥2，即a≥3时，f(x)≤0，f(x)在[1,2]上为减函数，所以f(x)min＝f(2)＝18－4a，所以18－4a0，解得a，这符合a≥3. 综上所述，a的取值范围为a. 解法二：由已知得：a＝x＋， 设g(x)＝x＋(1≤x≤2)，g(x)＝1－， 1≤x≤2，g′(x)0，所以g(x)在[1,2]上是减函数． g(x)min＝g(2)，所以a. 【点评】 解法一在处理时，需要用分类讨论的方法，讨论的关键是极值点与区间[1,2]的关系；解法二是用的参数分离，由于ax2x3＋10中x2[1,4]，所以可以进行参数分离，而无需要分类讨论． ??x1∈D，?x2D，f(x1)g(x2)的研究 ，对任意，都有在恒成立，求实数的取值范围． 思路分析：解决双参数问题一般是先解决一个参数，再处理另一个参数．以本题为例，实质还是通过函数求最值解决． 方法1：化归最值，； 方法2：变量分离，或； 方法3：变更主元，， 简解： 方法1:对求导，， 由此可知，在上的最大值为与中的较大者． ，对于任意，得的取值范围是．