同济版线性代数笔记.pdf

第一章 行列式 二阶行列式：如下所示 a a 11 12 a a =−a a （1） 11 22 12 21 a a 21 22 数 称为行列式的元素或元，其第一个下标 称为行标；第二个下标 称为列标；位于第 aij i j i 行第 列的元素称为行列式的 元。 j (i, j) 例：求解二元线性方程组 3x −2x 12 ⎧ 1 2 ⎫ ⎨ ⎬ 2x +x 1 ⎩ 1 2 ⎭ 3 −2 12 −2 3 12 解：D 7, D1 14, D2 −21 2 1 1 1 2 1 D 14 D 得x1 1 2 ，x2 2 −3 D 7 D 三阶行列式：如下所示 ⎛a11 a12 a13 ⎞ ⎜ ⎟ a a a a a a =+a a a +a a a −a a a ⎜⎜ 21 22 23 ⎟⎟ 11 22 33 12 23 31 13 21 32 11 23 32 （2 ） a a a ⎝ 31 32 33 ⎠ −a a a −a a a 12 21 33 13 22 31 排列（全排列）：把n 个不同的元素排成一列，叫做这n 个元素的全排列。例如n=3 ，则这 3 个元素的排列的种数为123,132,213,231,321,312，共六种，即种数为P 3=×2×1 6 种。 3 对于n 个元素，则其排列的种数为P n ×(n −1) LL3×2 ×1 n ! n 逆序数：对于n 个不同的元素，先假设各元素之间有一个标准次序（例如n 个不同的自然数， 可规定由小到大为标准次序），很显然，n 个不同的元素排列顺序肯定不止一种，当这些元 素的排列中某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说它有一个逆序。排列中所有逆序 的总数叫做这个排列的逆序数。逆序数为奇数的排列叫做奇排列，逆序数为偶数的排列叫做 偶排列。 不失一般性，设n 个元素为1 至n 这n 个自然数，规定由小到大为标准次序，设 p p Lp 1 2 n 为这n 个自然数的一个排列，考虑元素 ，如果比 大的且排在 前面的元素有 个，就 p i p i p i ti 说 这个元素的逆序数是 （因为按照标准排序从小到大，即在 之前本该没有数大于 ， p i ti p i p i 但现在有 个，所以说有 个元素相对于 与标准顺序不同，即有 个逆序数），如果每个 ti