离散傅里叶变换(解释的最透彻的包括定义物理意义以及使用注意事项.docVIP

离散傅里叶变换解释的最透彻的|包括定义物理意义以及使用注意事项 定义几个与X(k)相关的序列 幅度谱A(k)=|X(k)| 相位谱φ(k)=arctan{XI(k)/ XR(k)} 功率谱S(k)=A(k)*A(k) 离散傅里叶变换的物理意义及隐含的周期性 1物理意义 设x(n)是长度为N的有限长序列，则其傅里叶变换，Z变换与离散傅里叶变换分别用以下三个关系式表示 X(e^jω)= ∑n={0,N-1}x(n) e^jωn X(z)= ∑n={0,N-1}x(n)z^-n X(k)= ∑n={0,N-1}x(n) e^-j2π/Nnk 单位圆上的Z变换就是序列的傅里叶变换 离散傅里叶变换是x(n)的频谱X(ejω)在[0,2π]上的N点等间隔采样,也就是对序列频谱的离散化,这就是DFT的物理意义. 2DFT隐含的周期性 DFT的一个重要特点就是隐含的周期性,从表面上看,离散傅里叶变换在时域和频域都是非周期的,有限长的序列,但实质上DFT是从DFS引申出来的,它们的本质是一致的,因此DTS的周期性决定DFT具有隐含的周期性。可以从以下三个不同的角度去理解这种隐含的周期性 (1)??? 从序列DFT与序列FT之间的关系考虑X(k)是对频谱X(ejω)在[0,2π]上的N点等间隔采样，当不限定k的取值范围在[0,N-1]时，那么k的取值就在[0,2π]以外，从而形成了对频谱X(ejω)的等间隔采样。由于X(ejω)是周期的，这种采样就必然形成一个周期序列 (2)??? 从DFT与DFS之间的关系考虑。X(k)= ∑n={0,N-1}x(n) WNexp^nk，当不限定N时，具有周期性 (3)??? 从WN来考虑，当不限定N时，具有周期性 用DFT对模拟信号进行谱分析 在工程实际中经常遇到的模拟信号xn(t),其频谱函数Xn(jΩ)也是连续函数，为了利用DFT对xn(t)进行谱分析，对xn(t)进行时域采样得到x(n)= xn(nT),再对x(n)进行DFT，得到X(k)则是x(n)的傅里叶变换X(ejω)在频率区间[0,2π]上的N点等间隔采样，这里x(n)和X(k)都是有限长序列 然而，傅里叶变换理论证明，时间有限长的信号其频谱是无限宽的，反之，弱信号的频谱有限款的则其持续时间将为无限长，因此，按采样定理采样时，采样序列应为无限长，这不满足DFT的条件。实际中，对于频谱很宽的信号，为防止时域采样后产生‘频谱混叠’，一般用前置滤波器滤除幅度较小的高频成分，使信号的贷款小于折叠频率；同样对于持续时间很长的信号，采样点数太多也会导致存储和计算困难，一般也是截取有限点进行计算。上述可以看出，用DFT对模拟信号进行谱分析，只能是近似的，其近似程度取决于信号带宽、采样频率和截取长度 模拟信号xn(t)的傅里叶变换对为 X(jΩ)={-∞,+∞}x(t)*exp^-jΩt dt x（t）=1/2π{-∞,+∞} X(JΩ)*e^jΩt dt 用DFT方法计算这对变换对的方法如下： 1对xn(t)以T为间隔进行采样，即xn(t)|t=nT= xa(nT)= x(n),由于 t→nT,dt→T, {-∞,+∞}→∑n={-∞,+∞} 因此得到 X(jΩ)≈∑n={-∞,+∞}x(nT)*exp^-jΩnT*T x（nT）≈1/2π{0, Ωs} X(JΩ)*e^jΩnT Dω?xml:namespace prefix = o ns = urn:schemas-microsoft-com:office:office / 2将序列x(n)= xn(t)截断成包含有N个抽样点的有限长序列 X(jΩ)≈T∑n={0,N-1}x(nT)*exp^-jΩnT*T 由于时域抽样，抽样频率为fs=1/T,则频域产生以fs为周期的周期延拓，如果频域是带限信号，则有可能不产生频谱混叠，成为连续周期频谱序列，频谱的周期为fs=1/T