现代数学思想概观.doc

现代数学思想概观目录第一节 现代数学的涵义一 数学的涵义二 对现代数学中现代的理解第二节 现代数学与社会发展一 世界数学中心转移与社会发展二 现代数学与社会实践三 现代数学与社会管理四 数学的教育功能第三节 现代数学与社会发展一 科学数学化的发展进程二 社会科学数学化的必然性三 社会科学数学化的进展第四节 现代数学的特点与发展趋势一 高度的抽象和统一二 注重公理化体系的建立和结构的分析三 注意不同数学学科的结合、不断开拓新领域四 研究更符合实际的数学模型，解决更复杂的问题五 与电子计算机的紧密联系六 数学向一切学科和社会部门渗透和应用第四节 普及现代数学教育的意义复习体参考文献数学是一门古老而又常新的学科，今天它正表现着异常旺盛的生命力，人们认识世界，改造世界都要运有数学，现代数学是掌握科学技术的钥匙，是现代科学技术发展的有力工具。现代科学技术发展的一个重要趋势就是各门科学的数学化，它广泛渗透到社会生产和社会管理的各个领域，促进社会经济的发展，因而加强数学教育是提高国民素质的首要任务之一。鉴于以往本科院校数学系都不开设现代数学这样一门综合课，致使学生在本科毕业后对现代数学的掌握来说，是只见树木，不见森林，甚至对有些现代数学的内容一无所知，本章通过对现代数学内涵的理解，对现代数学特点的分析，以及对现代数学意义的描述，为我们展示的思想概貌，使我们能对蓬勃发展的现代数学有一个概观性了解。第一节 现代数学的涵义现代数学一词由两部分组成，即现代与数学，要理解现代数学必须从这两个词入手。一、数学的涵义这里从数学的研究对象、数学的内容两方面来谈数学的涵义。（一） 数学的研究对象恩格斯指出：纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系。因而，数学是关于现实世界中空间形式和数量关系的学科。数和形这两个基本概念，是人们通过长期的实践活动，从现实世界中抽象、概括出来的，并且在运用过程中又回到实践。数是各种各样事物不同量的共性。最初人们在实践中常把耳朵、眼睛、和2联系在一起，我国的2与耳同音，5和手是同意词。随着实践的逐步深入，数的领域被逐渐扩大，具体的事物逐渐被舍弃，抽象的数的概念就被概括出来。人们最早运用的数是自然数：１，２，３…，通过这些数才能比较出各种事物的量的大小和量的变化。后来由于单靠自然数描述量的大小还不够，又逐步引入了分数、小数、负数、无理数等形成实数系统，引进虚数而形成复数系统，近世代数中又引进与通常的数很不相同的量而构成各种数学系统，如群、环、域等等，这些代数系统的元素已失的本来意义，但相互间却能进行与数相类似的运算，因而可看成是数的扩张。形是各种物体存在的躯体与外壳，人们在实践中首先注意到物体的大、小、方、圆等形状，人们常把圆同日、月、车轮联系在一起，随着生产的发展，不断地把形的概念抽象化，就形成了抽象的点、线、面等概念。并在实践中总结出计算物体的长度、面积、体积等的方法，研究图形的质量性质（长度、面积、体积、角度），而形成欧几里德空间的概念；研究图形的透视性质而发展出射影空间的概念；研究图形的连续性质又形成了拓扑空间的概念。空间概念还沿着其它方向扩张着，人们不仅研究通常的二维和三维空间，而且考虑多维乃至无穷维空间；不仅研究平直的欧几里德空间，而考虑各种弯曲的非欧空间，现代数学已将越来越多形形色色的空间和它们的几何包括到所研究的对象中来。所以，数学是以数与形的性质、变化和它们的关系作为研究对象，探索它们的有关规律，给出对象性质的系统分析和描述，在这个基础上分析实际问题，给出具体的解答。数与形两个基本概念是整个数学的两个基石，整个数学就是随着这两个概念的提练、演变与发展而不断深化的。在早期数学中，以研究物质世界量、量的关系为主要特征的，属于算术与代数的范畴，以研究现实世界空间形式和形的关系为主要特征的，属于几何学的范畴。１７世纪研究变量把数与形结合起来，产生解析几何与微积分，以后形成了研究形、数关系的分析学。这样几何学、代数学、分析学三大类数学便构成了整个数学的主体与核心。随着数学的迅速发展，数学的研究对象越来越广，就变得越加抽象，从而越加远离现实，因此就会产生数学对象与客观世界的研究问题。一般说来，大部分数学分支中那些最初最老的问题，都是起源于经验，是由外部世界提出。多维空间的概念，是在研究多个自由度的质点力学的基础上建立的，正如法国大数学家傅立叶所说：对自然的深入研究，是数学发展最丰富的源泉，但是，数学的发展对现实世界还具有相对的独立性，一门数学理论一经建立，便可以不受客观世界影响，仅仅借助于数学内部逻辑推理而独立向前推进。数学中新理论的产生有时只是由于数学内在逻辑的需要，非欧几何与群论的产生就是如此，因此，数学的研究对象，不仅是直接从现实世界抽象出来的数量关系与空间形式，而且包括那些