点到直线距离教案.docVIP

高中数学必修2第三章直线与方程 3.3.3点到直线的距离（一） 广东省佛山市第一中学 祁润祥 适应教材：高中新课标，人教A版必修2 教学目的：点到直线的距离公式推导 教学重点：点到直线的距离公式的探究。 教学难点：优选探究方法 引题：我们已经掌握了直线的方程和平面上两点间的距离公式，那么怎样求点到直线的距离？ 提问：（1）如果,那么|AB|两点间距离公式是什么？ （2）是怎样推导出两点间距离公式的？ 二．点到直线的距离公式推导 习题： 已知点P(3,4),求点P到直线x-2=0的距离_________. 规律1：点到直线Ax+C=0的距离为________. 已知点P（-4，-3），则点P到直线y=-2的距离为________. 规律2：点到直线By+C=0的距离为________. 从上述解答，我们可以求出，当直线平行两坐标轴时，这种特殊直线方程时，我们可以求出点到直线的距离，那么如果直线不平行两轴时，如何求直线点到直线的距离呢？ 即：已知点的两个坐标，和直线的方程为Ax+By+C=0，如何求点到直线Ax+By+C=0的距离？ 例如：求点P(3,1)到直线x+y-2=0的距离. 解：过点P作直线的垂线方程为y-1= (x-3),即x+y-4=0 联立两个方程解得，两直线的交为Q(2,0),那么 故：点P（3,1）到直线x+y-2=0的距离为。 上述问题是：已知点的两个坐标，和直线的方程为Ax+By+C=0，如何求点到直线Ax+By+C=0的距离？ 分析：这个问题的已知条件是，已知和A、B、C，求距离d 由于该直线是交于两坐标轴，那么A≠0且B≠0。C∈R 请同学们思考：怎样求点到直线的距离？都有哪些方法可以求点到直线的距离？ 提问：我们学过的求距离的方法都有哪些？ 回顾我们学过的求距离的方法： 直角坐标系中两点间距离 向量法（i)利用求向量的模求长度， （ii）利用向量在向量上的投影 解三角形法 三角形的相似形与全等形 提问：怎样求点到直线Ax+By+C=0的距离？你想到哪些方法？ 方法一：过P作直线的垂线，求出垂足交点，再用两点间距离求点到直线距离。 直线的方程为，斜率为 直线的方程为 即: 与直线的方程联立，得 即:Q，所以 简化上述方法如下 设，则直线的斜率为，方程为 即 ① 与直线的方程联立，得 ② 即点Q的方程满足方程①与② 把①与②看成是关于的方程组，解得 于是 = 方法二：构造三角形求距离:可能构造如下三角形 方法二：如图（6）在三角形PRS中，求底边RS上的高线长， 设A≠0,B≠0,则直线l与x轴和y轴都相交， 过P点分别作x和y轴的平行线，交直线于R和S， 则直线P0R的方程为y=y0, R的坐标为 直线P0S的方程为x=x0,S的坐标为 于是有 设，由三角形面积公式可得 于是有 因此，点到直线的距离为 提问：上述公式是在什么条件下推导出来的？ 是否满足A=0或B=0的情形？ 答：当A=0或B=0时，点到直线Ax+By+C=0的距离都可以用公式计算。 总结：上述公式给我们得到启发，只要构造一个可解的三角形，使得点P到直线的距离为这个三角形的高即可用等积法求解距离。 方法三：因为直线l的斜率为，设直线的倾斜角为 那么 不妨设 如图（5），过P点做x轴的平行线交直线l于R, 那么∠PRQ=, 在Rt△PQR 中，|PQ|= 因此，点到直线的距离为 上述公式是在条件下推导的，那么当成立吗？请同学们自己证明； 续方法三：因为直线l的斜率为，设直线的倾斜角为 那么 当 如图（5），过P点做x轴的平行线交直线l于R, 那么∠PRQ=, 在Rt△PQR 中，|PQ|= 因此，点到直线的距离为 方法四：利用向量法求长 回顾：利用向量在向量上的投影定义： 如图（2），直线与y轴的交点为， ,直线的方向向量为（-B,A）,法向量为n=(A,B) 那么|PQ|长就是向量在向量n上投影的绝对值，则 |PQ|=(为向量与法向量n的夹角) 即PQ|= 例题：求点到直线：3x=2的距离 解析：点P到直线的距离 课堂练习： 坐标原点到下列直线3x+2y-26=0的距离为_________. 坐标原点到下列直线x=y的距离为_________. 点A(-2,2)到直线3x+4y+3=0的距离为_______. 点B(1,0)到直线的距离为________. 点C(1,2)到直线4x+3y=0的距离为______. 课堂小结： 本节课推导出了平面直角坐标系中，在已知点的坐标与直线方程时，推导出点到直线的距离公式，我们利用多种方法推导出了点到直线Ax+By+C=0的距离公式，推导公式的主要思想是把求长度问题转化为求三角形问题，构造出一个