大学数学竞赛导 积分学.docVIP

第三讲 积分学 不定积分1）原函数与不定积分的概念2）不定积分计算方法：积分的基本公式及性质、分项积分法、两类换元法、分部积分法、几类特殊函数的积分法（有理函数、三角有理函数、简单无理函数）例1：计算。解：原式注：不定积分是导数的逆运算，要充分利用导数计算找原函数。例2：证明：若，则 其中为待定系数，是方程不相等的实根，。证明：因为 设 （1）则有，当取时，（1）式恒成立，因此有 定积分1）定积分的概念和性质2）微积分基本公式：，其中3）定积分计算方法：利用定义计算、利用微积分基本公式、分项积分法、换元法、分部积分法、一些间接计算公式。 1、 2、 3、如果关于直线对称，则有  4、如果关于点对称，则有  5、 6、 7、例3：计算阿桑积分，其中。解：因为，所以是连续函数，即 一定存在。   （1）当时，（2）当时， 。注：这里利用了复数开方公式得： 4）反常积分（广义积分）反常函数审敛法：（1）设在区间上连续，且，如果函数是在区间上的有界函数，则收敛；（2）设在区间上连续，且，则有，收敛可得收敛；发散可得发散。（3）设在区间上连续，，则有 如果，则有和同敛散； 如果，则有收敛可得收敛； 如果，则有发散可得发散。（4）如果收敛，则收敛（绝对收敛）。例4：判别下列反常积分敛散性 （1） （2）解：（1）因为收敛，所以。（2）因为，发散，所以发散。5）定积分的应用：计算平面图形面积、计算立体体积、计算弧长、计算连续函数平均值公式。 重积分（二重积分、三重积分）1）重积分的概念和性质2）重积分的计算方法：二重积分：直角坐标系下计算法、极坐标计算法、换元法 注意对称性的运用；三重积分：投影法、切片法、球面坐标计算法、柱面坐标计算法、换元法注意对称性的运用。3）重积分的应用曲面的面积为、物体质心、转动惯量、引力。 两类曲线积分1）曲线积分的概念和性质2）曲线积分的计算法：注意对称性的运用。3）格林公式：设在上有连续偏导数，则有 4）第二型曲线积分与路径无关 两类曲面积分1）两类曲面积分的概念和性质2）两类曲面积分计算法：注意曲面在对应坐标面的投影，及两类曲面的联系。3）高斯公式和斯托克斯公式例5：证明：若在区间上有连续二阶导数，则 证明：因为在区间上连续，由最大值最小值定理，存在是在区间上的最大值。利用泰勒公式有  其中在之间，，因此我们有又因为所以有   由于 因此我们有 例6：证明：若函数在区间上单调，且存在，则有 证明：无妨设单调递增，取则有  因为存在，所以。当时有 当时有 由夹逼准则可得。例7：已知空间中的点，线段绕轴旋转为，求与平面所围成立体的体积。解：线段的方程为，曲面的方程为 。例8：设函数在区域内有二阶连续偏导数，且，证明： 证明：利用极坐标可得 改变积分次序后可得 设是圆并取正方向，是围成的圆盘，由关于坐标的基本计算方法和格林公式可得  所以我们有 例9：计算，其中是上半球面与柱面的交线，的方向从轴正方向向负方向看是逆时针方向。解：设上半球面在圆柱面内的部分，并区上侧，利用斯托克斯定理可得因为对应的单位法向量为，所以  。例10：计算，其中为下半球面的上侧，为大于零的常数。解：取为圆盘的下侧，则有  练习题1）计算2）设是上的连续函数，证明： 3）设连续，且，其中