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工程力学系 第九章 应力状态分析 第九章 应力状态理论 9-1 一点应力状态的概念 9-2 平面应力状态分析的解析法 9-3 平面应力状态分析的图解法 9-4 三向应力状态简介 9-5 广义虎克定律 9-6 平面应力状态的测定 9-7 复杂应力状态下的变形比能 问题的提出 内力计算 找到危险截面位置 应力计算 找到危险点位置 然而受力状态完全相同（即危险截面和危险点相同），破坏形态可能不同 低碳钢受扭产生平面断口 铸铁受扭产生45°螺旋面断口 为什么？ 说明不同材料破坏的危险方位不同。 应力状态理论 解决危险方位的问题。 §9-1 一点应力状态的概念 一、轴向拉压杆斜截面上的应力 由 得 斜截面上 讨论 当 当 当 在纵向拉伸等直杆中截取的一段 m n x 同一点各个方位上的应力大小和方向各不相同。 某一点各个不同方位的截面上的应力及其相互关系，称为一点的应力状态 二、一点应力状态 三、单元体概念 剪应力等于0的截面称为主平面；作用在主平面上的应力称为主应力。 在构件内部取一个微分六面体，代表一个点，分析 6 个微面上的应力，这个微分六面体称为单元体 四、应力状态分类 　　三向应力状态（空间应力状态）：三个方向的主应力都不等于0; 　　二向应力状态（平面应力状态）：两个方向的主应力都不等于0; 单向应力状态：只有一个方向的主应力都不等于0 §9-2 平面应力状态分析的解析法 平面初始应力状态包括 表示 平面应力状态的简化表示 一、任意斜截面上的应力 从 x 轴方向逆时针为正 拉应力为正；压应力为负 绕单元体顺时针为正，反之为负 设斜截面上的应力为 斜截面上的各参量的正负号规定 对三角形单元体建立平衡方程 整理后 二、主应力、主方位 由斜截面上的应力表达式可知 随 角度不同而变化， 都是 的函数，由此可求正应力和剪应力的极值。 主平面 将 的表达式对 求导： 可见在 的截面上，正应力具有极值（最大或最小） 主应力 即平面应力状态主应力、主方位表达式 令 即 得 将上式带入 的表达式： 将 的表达式对 求导： 三、剪应力极值、剪应力极值平面 将上式带入 的表达式： 即剪应力极值、剪应力极值平面表达式 由主应力方位角和剪应力极值方位角可知 即：剪应力极值平面和主平面夹角为45° §9-3 平面应力状态分析的图解法 斜截面应力解析表达式 将公式的结构进行变换 一、应力圆方程 发现此方程为圆方程，圆心 半径 观察方程 称此圆为应力圆。 由于应力圆最早由德国工程师莫尔（otto.mohr,1835-1918）提出，故又称为莫尔圆。 二、应力圆作法 (1)在坐标系内画出A1( ) (2)在坐标系内画出B1( ) 二、应力圆作法 (3)A1 B1连线与 轴交点即圆心O1 (4)以O1为圆心，以O1A1 为半径画圆 三、斜截面应力 (1)过A1作A1K∥x轴，交圆于K点 (2)过K作KP∥n(斜截面法线)，交圆于P点 则P点的坐标为 四、主应力、主平面、剪应力极值和剪应力极值平面 应力圆与x轴的交点横坐标即为正应力极值 KA和KB的射线方向即主平面法线方向 应力圆与应力状态的对应关系 图示主应力状态 过圆心作垂直于x轴的线，与圆交点为Q和Q’，两点的纵坐标即为剪应力极值 KQ和KQ’的射线方向即剪应力极值平面法线方向 图示剪应力极值应力状态 例题1：取梁截面中C点的应力状态进行分析， C点的应力状态如图，用解析法求解 ，并用图解法验证。 解： 图解法验证 查A点和B点的横坐标数值，即可得到主应力为26 MPa和-96 MPa，测量KA及KB与x轴的夹角，即可得到主平面方位角为27.5°和117.5°； 作C点应力状态的应力圆以及主应力和剪应力极值的应力状态。 查Q点和Q’点的横坐标数值，即可得到剪应力极值为± 61 MPa，测量KQ及K Q’与x轴的夹角，即可得到剪应力极值平面方位角为27.5°和117.5°； 例题2：已知某点应力状态如图，用解析法求 并用图解法验证。 解：解析法求解 图解法验证 作应力圆以及主应力和剪应力极值的应力状态。 查Q点和Q’点的横坐标数值，即可得到剪应力极值为± 44.2 MPa 过K点作直线与x轴呈30°角，与圆的交点的坐标即 查A点和B点的横坐标数值，即可得到主应力为51.7 MPa和-36.7 MPa §9-4 三向应力状态简介 只有主应力的三向应力状态称为三向主应力状