正态分布的数学期望与方差.docVIP

正态分布的数学期望与方差正态分布：密度函数为： 分布函数为的分布称为正态分布，记为N(a, σ2).密度函数为：或者称为n元正态分布。其中B是n阶正定对称矩阵，a是任意实值行向量。称N(0,1)的正态分布为标准正态分布。（1） 验证是概率函数（正值 且积分为1）（2） 基本性质：?（3） 二元正态分布：其中 ，?二元正态分布的边际分布仍是正态分布：二元正态分布的条件分布仍是正态分布：即 （其均值是x的线性函数）其中r可证明是二元正态分布的相关系数。（4） 矩，对标准正态随机变量，有（5） 正态分布的特征函数多元正态分布（1） 验证其符合概率函数要求（应用 B为正定矩阵，L为非奇异阵，然后进行向量线性变换）（2） n元正态分布结论?a) 其特征函数为：?b) 的任一子向量 ,m≤n 也服从正态分布，分布为 其中 ， 为保留B的第 ， … 行及列所得的m阶矩阵。表明：多元正态分布的边际分布还是正态分布c) a,B分别是随机向量 的数学期望及协方差矩阵，即?表明：n元正态分布由它的前面二阶矩完全确定d) 相互独立的充要条件是它们两两不相关e) 若 ， 为 的子向量， 其中 是 ， 的协方差矩阵， 则是 ， 相应分量的协方差构成的相互协方差矩阵。则 相互独立的充要条件为 ＝0f) 服从n元正态分布N(a,b)的充要条件是它的任何一个线性组合 服从一元正态分布?表明：可以通过一元分布来研究多元正态分布g) 服从n元正态分布N(a,b),C为任意的m×n阶矩阵，则 服从m元正态分布?表明：正态变量在线性变换下还是正态变量，这个性质简称正态变量的线性变换不变性推论： 服从n元正态分布N(a,b)，则存在一个正交变化U，使得 是一个具有独立正态分布分量的随机向量，他的数学期望为Ua，而他的方差分量是B的特征值。条件分布若 服从n元正态分布N(a,b)， ，则在给定 下， 的分布还是正态分布，其条件数学期望：(称为 关于 的回归)其条件方差为：（与 无关）