2013竞赛题——著名不等式汇集.docVIP

竞赛中著名不等式汇集 作者 阿道夫 （配以典型的例题） 2013.2.28 在数学领域里，不等式知识占有广阔的天地。不等式常以其优美的结构、严谨的解法、恢弘的气势、广阔的知识容纳性、深层的数学背景等，而被众多竞赛大家所看重，也被莘莘学子所追崇。以下根据自己在前些年教学中的总结并引学了其他贤人的智慧汇集如下，希望对同学们有所帮助。 1. 平均不等式（均值不等式） 2. 柯西不等式（柯西—许瓦兹不等式或柯西—布尼雅可夫斯基不等式） 3. 排序不等式（排序原理） 4. 契比雪夫不等式 5. 贝努利不等式 6. 琴生不等式 7. 含有绝对值的不等式 8. 舒尔不等式 9. 一些几何不等式 佩多不等式 外森比克不等式 三角形内角的嵌入不等式 10. 内斯比特不等式 11． Holder不等式. 12. 闵可夫斯基（）不等式 1. 平均不等式（均值不等式） 设是个正数，令 （调和平均值）， （几何平均值）， （算术平均值）， （平方平均值）， 则有 （）(调和平均几何平均不等式) ； （）(几何平均算术平均不等式) ； （）（算术平均平方平均不等式） . 这些不等式又统称为均值不等式.等号成立的充要条件是. （） (1) , 由3的推论2知（1）式成立，故（）成立.等号成立的充要条件是，即. （） (2) , 所以由3的推论2知（2）成立，故（）成立.显然等号成立的充要条件是 . （） 令，再令 ，，则 . ∴ =0 , . 等号成立的充要条件是，即. 另：G,Q证明还可以借助2维形式加以证明 练习： 1）.设 的最小值为???????? . 　　 2）. 设A、B、C、D为空间中的四点，求证： 　　证明：如图，取BD的中点E，连结AE和EC，则在△ABD和△BCD中，根据中线的性质，有 　　 3）. （2005年日本数学奥林匹克）若正实数满足，求证 . 证 ∵， 由均值不等式，得 ， ∴ . 同理可得 将上述3个不等式相加，得 . 4）.（2004年中国香港数学集训队试题）证明对于任意正实数均有 解： 上述3个式子相加，得 ， 所以 2. 柯西不等式（柯西—许瓦兹不等式或柯西—布尼雅可夫斯基不等式） 　　对任意两组实数 ， ，…， ； ， ，…， ，有 　　 ，其中等号当且仅当 时成立。 　　柯西不等式经常用到的几个特例（下面出现的 ，…， ； ，…， 都表示实数）是： 　　（1） ， ，则 　　（2） 　　（3） 柯西不等式在求某些函数最值中和证明某些不等式时是经常使用的理论根据，我们学习中应给予极大的重视。关键在于使用一些方法构造符合柯西不等式的形式及条件，继而达到使用柯西不等式证明有关的不等式。 练习： 1）. = 1 \* GB3 ① 设、、为正数且各不相等。 求证： 又、、各不相等，故等号不能成立 ∴原不等式成立。 巧拆常数 = 2 \* GB3 ②、为非负数，+=1，求证：。 （∵+=1） 重新安排某些项的次序 = 3 \* GB3 ③若，求证： ∴ 结构的改变从而达到使用柯西不等式 = 4 \* GB3 ④ 已知求证： 添项 2）.设已知是实数，满足 试确定的最大值. 证 由算术平方平均不等式得： ， 从而有 ， ， 解之得 .当时，，因此的最大值为. 3）. 试确定 的所有实数解. 　　解：由 　　 取“=”号. 　　 　　所以，原方程组有唯一实数解 　　 4）. 3. 排序不等式 设，，是的一个全排列，则有 （倒序和） （乱序和） ， （顺序和） 等号全成立的充要条件是或. 证： 我们先用数学归纳法证明. （1） 当时，因为 ， 所以 时，（1）式成立。 假设对于时（1）式成立，即 ，