中北大学数字信号处理原理及应用1.ppt

1.3.3 单位抽样响应与卷积和 设系统输入序列为 ，输出序列为 。任一序列 可写成 的移位加权和，即 系统为线性 系统为非时变 结论： 系统在激励信号 作用下的零状态响应为 与系统的单位抽样响应的线性卷积，即 一个离散时间LTI系统完全由它的单位冲激响应来表征。 系统的特征函数 1.3.4 因果系统 因果系统就是指系统某时刻的输出只取决于此时刻和此时刻以前时刻的输入。 定义： 线性移不变系统是因果系统的充分且必要条件是： 证明： 对LTI系统： 若上式成立，则系统是因果的 1）充分性 时， 只与 时的 有关，所以系统是因果的。 必要性 ：采用反证法。假定系统为因果性 系统，但在n0时h(n)≠0。 系统是非因果的 因此假设不成立，即：若系统是因果的，必有n0时，h(n)=0。 有：mn时，h(n-i)?0， 1.3.5 稳定系统 稳定系统是指有界输入产生有界输出（BIBO）的系统。 定义： 一个线性移不变系统是稳定系统的充分且必要条件是： 即单位抽样响应绝对可和。 充分性： 必要性： 用反证法，假设系统稳定时： 注： 要证明一个系统不稳定，只需找一个特定的有界输入得到一个无界的输出即可；反之，要证明一个系统稳定，必须是在所有有界输入都产生有界输出的情况下才行。 因果稳定系统 因果稳定的LTI系统的单位冲激响应序列是因果的且是绝对可和的，即： 解：∵ n0时，h(n)=0，∴系统是因果的。 解：∵0≤k≤N-1，y(n)只与x(n),…,x(n-N+1)有关， ∴系统是因果的。 若|x(n)| ≤ B，则|y(n)|≤1/N×NB =B， ∴系统是稳定的。 例：试判断以下系统的因果性和稳定性 结论：系统是因果稳定的。 结论：系统是因果的， 时系统才稳定。 卷积和的物理意义 因果信号 因果系统 1.4 线性常系数差分方程 连续时间系统用微分方程描述，而离散时间系统则用差分方程描述。一个离散时间系统无论是由连续时间系统离散化得到的，或者本身就是离散的，其数学模型都可以用差分方程来描述。本节主要讨论线性移不变离散时间系统差分方程的描述形式和求解方法。 1.4.1线性常系数差分方程的描述 一个 阶线性常系数差分方程一般形式为 或者 式中， 、 分别指系统的输入和输出。 系数ai(i=1,…,N) ， bi (i=1,…,M)均为常数 阶数指方程中y(n-i)的最高阶与最低阶之差 线性指方程中仅有y(n-i)的一次幂，不含它们的相乘项。 例1.4.1 图1.4.1所示电路为一阶 低通模拟滤波器。 为输入信号、 为输出信号。试由描述该电路的微分方程求出相应的差分方程。 图1.4.1 低通滤波器 解 很容易得到描述该系统的微分方程为 若对 进行抽样，且抽样间隔 足够小，则有 结合 得 取 为单位时间的情况下得到所求差分方程为 例1.4.2 求累加器 的差分方程表示式。 解 依据已知 列出时刻的输出为 则得到所求差分方程为 例1.4.3 滑动平均滤波器可以表示成的形式。 例如，模板为3个点的平滑滤波器可以写成。 1.4.2 线性常系数差分方程的求解 求解差分方程的方法有： 1、序列域（离散时间域）法 ①时域经典解法； ②迭代法； ③卷积求和法 2、变换域法（如 变换求解法）。 当差分方程方程阶数较低的时候，用迭代法求解差分方程比较简单。 例1.4.5 某系统可用差分方程 来描述，分别求解系统在下列初始条件下的单位抽样响应： 1、 ； 2、 。 解 依题意，输入序列 ，则 1、 时，递推过程如下： （1） 时由递推公式 得 即， （2） 时由递推公式 得 …… 综合得 2、 时，递推过程如下： （1） 时 由 得 …… （2） 时 由