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微积分复习整理 第一章 极限与连续 3 数列的极限 3 定义1：数列的极限 3 定义2：发散和收敛 3 函数的极限 3 定义3：函数的极限 3 定义4：函数在某点的极限 3 定义5：左右极限 3 定义6：局部保号性 3 定义7：变量的极限 3 定理8：有界变量 3 定理9：有界和极限的关系 4 无穷大与无穷小 4 定义10：无穷大 4 定义11：无穷小 4 定义12：函数极限的无穷小表示 4 定义13：无穷小量和有界变量的乘积仍是无穷小量。 4 无穷小量与无穷大量的关系 4 定义14：分子上面的是分子下面的XX无穷小量。 4 第一章 极限与连续 数列的极限 定义1：数列的极限如果对于任意给定的正数ā，总存在一个正整数N，当nN时，∣Yn-A∣ā恒成立，则称当n趋于无穷大时，数列Yn以常数A为极限。记作略。数学语言也略。 要点1：从ā出发把N找出来，说明∣Yn-A∣ā恒成立，从不等式入手而不是解不等式。 要点2：不以A为极限，只需在定义1的基础上将存在命题与任取命题交换即可。 定义2：发散和收敛如果一个数列有极限，那么我们称它为收敛的。否则他就是发散的。例如Yn收敛于A。 例题1：见笔记本，注意格式和答题规范。 函数的极限 定义3：函数的极限，如果对于任意给定的正数ā，总存在一个正:数M，当∣x∣M时，∣∫x-A∣ā恒成立，则称当x趋于无穷大时，函数∫x以常数A为极限。记作略。数学语言也略。当题目的条件发生变化的时候，根据自定义的范围给出x应该满足的条件。 定义4：函数在某点的极限，如果对于任意给定的正数ā，总存在一个正:数:ê，当0∣x-x0∣ê时，∣∫x-A∣ā恒成立，则称当x趋于无穷大时，函数∫x以常数A为极限。记作略。数学语言也略。当 要点3：通过化简把ê找出来。 定义5：左右极限，左极限与右极限，一般在分段函数中，注意分段点处的左右极限的区别。记法见书59. 关于函数极限的定理 一个函数在某处的左右极限相等，那么它的极限就等于左极限或者是右极限。 定义6：局部保号性，详见60，简单的说就是一个函数在某点的极限是一个正数，则在这一点的某个领域中函数值一定是一个正数，如果是负数则相反。 定义7：变量的极限，如果对于任意给定的正数ā，在变量Y的变化过程中，总有那么一个时刻，在那个时刻以后∣Yn-A∣ā恒成立，则称变量Yn以常数A为极限。 注意，变量的极限适用于数列，函数，或函数在某点的极限。它的符号可以不写范围，再用这个符号的时候必须是以上三种情况都适用才能用。 定理8：有界变量，在变量Y的某一变化过程中，如果存在正整数M，使变量在某一时刻后，恒有∣Y∣≤M,则称Y在那一时刻之后为有界变量。 定理9：有界和极限的关系，如果变量有极限，那么他是有界变量。 无穷大与无穷小 定义10：无穷大，如果对于任意给定的正数E，变量Y在变化过程中，总有那么一个时刻，在那个时刻以后，不等式∣Y∣＞E恒成立，则称变量Y是无穷大量。 注意：求的时候，只要根据E找到x就行。 定义11：无穷小，以0为极限的变量是无穷小量。0是唯一称得上无穷小的常数。证明无穷小的时候和证无穷大相似，只要换符号就行。 定义12：函数极限的无穷小表示，变量Y以A为极限的充分必要条件，变量Y可以表示成A与一个无穷小量的和。详见书64面。 定义13：无穷小量和有界变量的乘积仍是无穷小量。 推论：常量与无穷小量的乘积仍是无穷小量。 无穷小量与无穷大量的关系 无穷大量与无穷小量可以相互转换。 无穷小量的阶 定义14：分子上面的是分子下面的XX无穷小量。 同阶无穷小量，商的极限为一个常数 等价无穷小量，上面的常数为1 较低阶无穷小量，商的极限是无穷大 较高阶无穷小量，商的极限是为无穷小，或者为零。