应用数学基础第11章 复数课案.doc

第11章 复数 1484年，法国数学家舒开首先偷食了“负数开平方”的禁果，用其表示了方程的两个根．1545年，意大利数学家卡尔丹“大胆”地把10分成两部分，使其和等于10，其积等于40．1637年，法国数学家笛卡尔在《几何学》一书中给了“负数开平方”一个“虚数”的名称．1777年，瑞士数学家欧拉又以表示虚数单位．1801年，德国数学家高斯系统研究了虚数，把和实数的混合物称为复数，沿用至今．本章学习的主要内容是复数的概念、复数的四则运算、复数的三角式与指数式以及复数在电工学中的表示等等． §11.1 复数的概念 1.虚数单位与复数 我们知道，方程在实数范围内是没有解的．为了求解这个方程，引入一个新数，称作虚数单位，它具有性质： （1）它的平方等于，即 ； （2）它与实数在一起，可以按照实数的四则运算法则进行运算． 易见与是方程的两个根，这样方程就可以求解了． 这样虚数单位就是的一个平方根，数学家欧拉将其记为：. 虚数单位有以下一些特性. ； ； ； ； ； ； ； . 一般地，对于正整数，都有 ；；；. 我们规定：，. 这样可以证明虚数单位的上述性质对一切整数都成立. 【例1】计算 （1）； （2）. 解（1）； （2）. 定义1 设和都是实数，形如的数称为复数，其中，分别称为复数的实部与虚部．通常用小写字母、等来表示复数，复数的实部记作，虚部记作． 例如，，，，等都是复数，它们的实部分别是，，0，；虚部分别是，，，0. 定义2 把全体复数组成的集合叫做复数集，并用字母表示复数集．即有 . 定义3 虚部不等于0的复数称为虚数，实部等于0且虚部不等于0的复数称为纯虚数． 例如，，，都是虚数，其中还是纯虚数． 虚部等于0的复数就是实数，实部与虚部都等于0的复数就是实数0．于是自然数集、整数集、有理数集、实数集、复数集之间的关系如下： . 由上面所述可知：实数集是复数集的真子集，即有. 把复数写成：，这种表示复数的形式称为复数的代数式． 【例2】实数取什么值时，复数 是实数，虚数，纯虚数？ 解 当，即时，为实数；当，即时，为虚数；当，且时，即时，为纯虚数． 练习 1.计算 （1）； （2）； （3）； （4）. 2.指出下列复数的实部和虚部： ，，，，，，． 3.指出下列数中，哪些是实数？哪些是虚数？哪些是纯虚数？ ，，，，，，，，． 4.为何值时，下列复数是实数，纯虚数，虚数？ （1）； （2）． 2.复数的相等 定义4 如果两个复数的实部和虚部都相等，那么就称这两个复数相等． 这就是说，若复数，，则 当且仅当． 如果复数，那么，． 【例3】已知，其中、是实数，求和的值． 解 由复数相等的定义，得 解这个方程组，得，． 我们知道，两个实数是可以比较大小的，但虚数是不考虑大小关系的，即虚数没有大小之分．因此，当两个复数不全是实数时就不能比较大小. 练习 1.填空： （1），如果，则 ， ； （2），如果，则 ， ； 2.求适合下列方程的实数,的值： （1）； （2）； （3）． 3.复数的几何表示 用复平面内的点表示复数 初中阶段我们已经学过，实数与数轴上的点是一一对应的，并且实数能用数轴上的点表示．复数，由其实部和虚部惟一确定，因此任何一个复数，都可以由一个有序实数对惟一确定．这样我们就可以借助平面直角坐标系来表示复数． 如图11-1所示，建立平面直角坐标系，用横坐标为，纵坐标为的点表示复数．这样表示复数的直角坐标平面称为复平面．横坐标轴叫做实轴，纵坐标轴（除原点外）叫做虚轴．表示实数的点都在实轴上，表示纯虚数的点都在虚轴上． 按照这样的表示方法，显然，任意一个复数，在复平面内就能找到一个确定的点和它对应；反过来，对于复平面内任何一个点，就有一个确定的复数和它对应．所以，复数集C和复平面内所有点组成的集合是一一对应的．即 复数复平面内的点 “”表示一一对应的意思． 图 11-1 图 11-2 【例4】用复平面内的点表示复数：，，，. 解 如图11-2所示，复数用点表示，用点表示，用点表示，用点表示． 【例5】复平面内的点、、、各表示什么复数？ 解 如图11-3所示，点表示复数，点表示复数，点表示实数，点表示纯虚数． 图 11-3 图 11-4 用向量表示复数 如图11-4所示，设复数对应点，连结，则可用向量表示复数，（规定实数0与