复数知识点归纳及习题.docVIP

复数．知识网络图 　　 ．复数中的难点 　　(1)复数的向量表示法的运算.对于复数的向量表示有些学生掌握得不好，对向量的运算的几何意义的灵活掌握有一定的困难.对此应认真体会复数向量运算的几何意义，对其灵活地加以证明. 　　(2)复数三角形式的乘方和开方.有部分学生对运算法则知道，但对其灵活地运用有一定的困难，特别是开方运算，应对此认真地加以训练. 　　(3)复数的辐角主值的求法. 　　(4)利用复数的几何意义灵活地解决问题.复数可以用向量表示，同时复数的模和辐角都具有几何意义，对他们的理解和应用有一定难度，应认真加以体会. 三．复数中的重点 　　(1)理解好复数的概念，弄清实数、虚数、纯虚数的不同点. 　　(2)熟练掌握复数三种表示法，以及它们间的互化，并能准确地求出复数的模和辐角.复数有代数，向量和三角三种表示法.特别是代数形式和三角形式的互化，以及求复数的模和辐角在解决具体问题时经常用到，是一个重点内容. 　　(3)复数的三种表示法的各种运算，在运算中重视共轭复数以及模的有关性质.复数的运算是复数的主要内容，掌握复数各种形式的运算，特别是复数运算的几何意义更是重点内容. 　（4）复数集中一元二次方程和二项方程的解法. 四．基础知识 1．复数的定义：设i为方程x2=-1的根，i称为虚数单位，由i与实数进行加、减、乘、除等运算。便产生形如a+bi（a,b∈R）的数，称为复数。所有复数构成的集合称复数集。通常用C来表示。 (1) z=a+bi∈Rb=0 (a,b∈R)z= z2≥0； z=a+bi是虚数b≠0(a,bR)； z=a+bi是纯虚数a=0且b≠0(a,bR)z＋＝0（z≠0）z20； a+bi=c+dia=c且c=d(a,b,c,dR)； a-bi称为z的共轭复数。模与共轭的性质有：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）||z1|-|z2||≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|；（8）|z1+z2|2+|z1-z2|2=2|z1|2+2|z2|2；（9）若|z|=1，则。 4．复数的运算法则：（1）按代数形式运算加、减、乘、除运算法则与实数范围内一致，运算结果可以通过乘以共轭复数将分母分为实数；（2）按向量形式，加、减法满足平行四边形和三角形法则； 复数的代数形式及其运算：设z1= a + bi , z2 = c + di (a,b,c,d∈R)，则： (1) z 1±z2 = (a + b)± (c + d)i； (2) z1.z2 = (a+bi)·(c+di)＝（ac-bd）+ (ad+bc)i； (3) z1÷z2 = (z2≠0) ; 几个重要的结论： (1) (2) 性质：T=4；； (3) 。；⑷ 运算律：（1） 共轭的性质：⑴ ；⑵ ；⑶ ；⑷ 。 模的性质：⑴；⑵；⑶；⑷； 5.复数相等的充要条件：两个复数实部和虚部分别对应相等。 6．复数z是实数的充要条件是z=;z是纯虚数的充要条件是：z+=0（且z≠0）. 五．习题 1．已知aR，若(1－ai)(3＋2i)为虚数，则a的值为(　　) A．－　　　B.C．－ D. 2．复数(i是虚数单位)的实部是(　　) A. B．－C. D．－ 是实数的充要条件是（　　） Ａ． Ｂ． Ｃ．为实数 Ｄ．为实数 4．若复数满足，则等于（　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 5．等于（　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 6．，若，则（　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 7．已知复数，，若，则（　　） Ａ．或 Ｂ． Ｃ． Ｄ． 8．表示（　　） Ａ．点与点之间的距离 Ｂ．点与点之间的距离 Ｃ．点与原点的距离 Ｄ．点与点之间的距离 9．已知，，则的最大值和最小值分别是（　　） Ａ．和 Ｂ．3和1 Ｃ．和 Ｄ．和3 10．设0θ，(a＋i)(1－i)＝cosθ＋i，则θ的值为(　　) A. B. C. D. 11．若，则方程的解是（　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 12．满足条件的复数在复平面内对应的点的轨迹是 （　　） Ａ．双曲线 Ｂ．双曲线的一支 Ｃ．两条射线 Ｄ．一条射线 13．设，为锐角三角形的两个内角，则复数对应的点位于复平面（ 　） Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限 14．已知复数，那么当a=_______时，z是实数；当a__________时，z是虚数；当a=______时，z是纯虚数。 15．若，已知，，则　　　　　． 16．复数的共轭复数在复平面上的对应点在第一象限内，则实数的取范围是　　　　　． 17．已知，则复数，对应点的轨迹是　　　　． 18．设，若对应的点在直线上，则的值是