专题2：二次函数25题答案.doc

中考数学二次函数(25题)专项 1.已知抛物线的函数解析式为，若抛物线经过点，方程的两根为，，且。 （1）求抛物线的顶点坐标. （2）已知实数，请证明：≥,并说明为何值时才会有. （3）若抛物线先向上平移4个单位，再向左平移1个单位后得到抛物线，设，是上的两个不同点，且满足：，，.请你用含有的表达式表示出△的面积，并求出的最小值及取最小值时一次函数的函数解析式。 （参考公式：在平面直角坐标系中，若，，则，两点间的距离为） 解：（1）∵抛物线过（０,－３）点，∴－3a＝－３　∴a＝１ 　∴ｙ＝x2＋bx－３ ∵x2＋bx－３=０的两根为x1,x2且＝４ ∴＝４且b＜０ ∴b＝－２ ∴ｙ＝x2－２x－３＝（x－１）２－４ ∴抛物线Ｃ１的顶点坐标为（１，－４） （2）∵x＞０，∴. ∴显然当x＝１时，才有 （3）方法一：由平移知识易得Ｃ２的解析式为：y＝x2 ∴Ａ(m，m２)，B（n，n２） ∵ΔAOB为RtΔ, ∴OA２+OB２=AB２ ∴m２＋m４＋n２＋n４＝（m－n）２＋（m２－n２）２, 化简得：m n＝－１ ∵ＳΔAOB==, m n＝－１ ∴ＳΔAOB＝ ＝ ∴ＳΔAOB的最小值为１，此时m＝１,Ａ(１,１)　　 ∴直线OA的一次函数解析式为ｙ＝x　　 方法二：由题意可求抛物线的解析式为： ∴， 过点、作轴的垂线，垂足分别为、，则 由 得 , 即 ∴ ∴ ∴ 由（2）知： ∴,当且仅当，取得最小值1 此时的坐标为（１，１）. ∴一次函数的解析式为 2．如图，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(－4，0)、B(1，0)、C(－2，6)． (1)求经过A、B、C三点的抛物线解析式； (2)设直线BC交y轴于点E，连接AE，求证：AE=CE; (3)设抛物线与y轴交于点D，连接AD交BC于点F，试问以A、B、F，为顶点的三角形与△ABC相似吗？请说明理由． 解：（1）∵抛物线经过A(－4，0)、B(1，0)，∴设函数解析式为：y=a（x＋4）（x－1）。 又∵由抛物线经过C（－2，6），∴6=a（－2＋4）（－2－1），解得： a=－1。 ∴经过A、B、C三点的抛物线解析式为：y=－（x＋4）（x－1），即y=－x2－3x＋4。 （2）证明：设直线BC的函数解析式为y=kx+b， 由题意得： ，解得：。 ∴直线BC的解析式为y=－2x+2． ∴点E的坐标为（0，2）。 ∴。 ∴AE=CE。 （3）相似。理由如下： 设直线AD的解析式为y=k1x+b1，则 ，解得：。 ∴直线AD的解析式为y=x+4。 联立直线AD与直线BC的函数解析式可得：，解得：。 ∴点F的坐标为（ ）。 则。 又∵AB=5，， ∴。∴。 又∵∠ABF=∠CBA，∴△ABF∽△CBA。 ∴以A、B、F为顶点的三角形与△ABC相似。 ． 如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数 (为常数)的图象与x轴交于A(，0)，与轴交于点C．以直线x=为对称轴的抛物线 ( 为常数，≠0)经过A，C两点，并与x轴的正半轴交于点 （1）求的值及抛物线的函数表达式； 设E是y轴右侧抛物线上一点，过点E作直线AC的平行线交x轴于点F．是否存在E，使得以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形若存在，求出点E的坐标及相 （3）若P是抛物线对称轴上使△ACP的周长取得最小值的点，过点P任意作一条与y轴 ，两点，试探究 是否为定值，并写出 解：（1）∵经过点（﹣3，0），∴0=+m，解得m=， ∴直线解析式为，C（0，）． ∵抛物线y=ax2+bx+c对称轴为x=1，且与x轴交于A（﹣3，0），∴另一交点为B（5，0）， 设抛物线解析式为y=a（x+3）（x﹣5）， ∵抛物线经过C（0，），∴=a?3（﹣5），解得a=， ∴抛物线解析式为y=x2+x+； （2）假设存在点E使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形， 则AC∥EF且AC=EF．如答图1， （i）当点E在点E位置时，过点E作EG⊥x轴于点G， ∵AC∥EF，∴∠CAO=∠EFG， 又∵，∴△CAO≌△EFG， ∴EG=CO=，即yE=，∴=xE2+xE+，解得xE=2（xE=0与C点重合，舍去）， ∴E（2，），S?ACEF=； （ii）当点E在点E′位置时，过点E′作E′G′⊥x轴于点G′， 同理可求得E′（+1，），S?ACE′F′=． （3）要使△ACP的周长最小，只需AP+CP最小即可． 如答图2，连接BC交x=1于P点，因为点A、B关于x=1对称，根据轴对称性质