线性方程组的解xgb.pptVIP

第3章 线性方程组 第3章 线性方程组 第3章 线性方程组 第3章 线性方程组 §3.1 消元法——求解线性方程组的一般方法 一、线性方程组有解判定定理 定理1（线性方程组有解判定定理） n元线性方程组Ax?b (线性方程组Am×nx?b )解的判定 (1) Am×nx?b无解? r(A)?r(A? b)? (2) Am×nx?b有解? r(A)=r(A? b)? （i）Am×nx?b有唯一解? r(A)?r(A? b)?n? (ii) Am×nx?b有无限多解? r(A)?r(A? b)?n? * 下页 上页 返回 L/O/G/O * 线性代数 数学与信息学院 柏钦玺baiqinxi98@163.com m个方程 n个未知数的线性方程组 可以写成 Ax?b? 或者Am×nx?b? 其中系数矩阵A?(aij) m×n? x?(x1? x2? ? ? ?? xn)T? b?(b1? b2? ? ? ?? bm)T? 矩阵B?(A b),称为线性方程组的增广矩阵(Augmented matrix)? 线性方程组如果有解? 称它是相容的? 如果无解，称它不相容或矛盾? 简称为m×n 线性方程组 m个方程 n个未知数的线性方程组 也可以写成 a1x1+a2x2+ ? ? ?+anxn?b? 其中 aj?(a1j? x2j? ? ? ?? xnj)T? b?(b1? b2? ? ? ?? bm)T? 简称为m×n 线性方程组 可以写成 Ax?b? 或者Am×nx?b? 其中系数矩阵A?(aij) m×n? x?(x1? x2? ? ? ?? xn)T? b?(b1? b2? ? ? ?? bm)T? m个方程 n个未知数的线性方程组 当m=n时，系数行列式≠0，可以用克拉默法则求解． 对于一般的线性方程组，需要研究以下三个问题： (1)怎样判断线性方程组是否有解？即它有解的充分必要条件是什么？ (2)方程组有解时，它究竟有多少个解？如何去求解？ (3)当方程组的解不唯一时，解与解之间的关系如何？ 本章的内容分向量组和线性方程组两部分． 向量组部分是由线性组合、线性相关(无关)出发，进而讨论向量中线性无关向量的个数，从而引出对向量组的秩的研究． 方程组部分的主要内容是利用矩阵与向量的理论，对方程组解的情况以及解的结构进行讨论． 3.1 消元法 3.2 向量组的线性组合 3.3 向量组的线性相关性 3.4 向量组的秩+3.5 向量空间 3.6 线性方程组解的结构 第3章 习题课 线性方程组的应用 m个方程 n个未知数的线性方程组 当m=n时，系数行列式≠0，可以用克拉默法则求解． 对于一般的线性方程组，需要研究以下三个问题： (1)怎样判断线性方程组是否有解？即它有解的充分必要条件是什么？ (2)方程组有解时，它究竟有多少个解？如何去求解？ (3)当方程组的解不唯一时，解与解之间的关系如何？ 一、 线性方程组有解判定定理 二、线性方程组的求解步骤与方法 定理1 （线性方程组Am×nx?b有解判定定理） n元线性方程组Ax?b (1) Am×nx?b无解? r(A)?r(A? b)? (2) Am×nx?b有唯一解? r(A)?r(A? b)?n? (3) Am×nx?b有无穷多解? r(A)?r(A? b)?n? 说明? (1) 中条件的必要性是 (2) (3) 中条件的充分性的逆否命题. 这是因为 (1) 中条件的必要性是 “若Am×nx?b无解,则 r(A)?r(A? b).” 反证法,若 r(A)?r(A? b), 即“r(A)?r(A? b)?n或者r(A)?r(A? b)?n”,则?? 定理1 （线性方程组Am×nx?b有解判定定理） n元线性方程组Ax?b (1) Am×nx?b无解? r(A)?r(A? b)? (2) Am×nx?b有唯一解? r(A)?r(A? b)?n? (3) Am×nx?b有无限多解? r(